به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
49 بازدید
در دانشگاه توسط toorin

مساحت هر یک از گلبرگهای تشککیل شده بوسیله r Sin2 \theta محاسبه نید و ثابت کنید که مجموع مساحت گلبرگه برابر با نصف مساحت دایره ربرگیرنده آن است

مرجع: جزوه کلاس Calculus است
توسط AmirHosein
@toorin مرجع، یک منبع انتشار یافته و قابل جستجو برای افراد است، جزوهٔ شخصی شما یک جزوهٔ فتوکپی‌شدهٔ کلاس شما یک منبع قابل ارجاع نیست. اگر می‌خواهید بگویید در جزوهٔ کلاسی درس حسابان شما مطرح شده‌است، می‌توانید در همان متن پرسشی که تایپ می‌کنید اشاره کنید نه اینکه به عنوان مرجع معرفی‌اش کنید چون سایرین دسترسی به آن ندارند که به آن رجوع کنند!

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

توجه کنید که نخستین گلبرگ از زاویهٔ $\theta=0$ شروع و به $\theta=\frac{\pi}{2}$ ختم می‌شود. پارامتر ضابطهٔ گل را $R$ در نظر بگیرید و $r$ و $\theta$ را برای مختصات قطبی نگه‌دارید. قطر (فاصلهٔ دورترین جفت‌نقطه از) شکل ما $R$ است پس شعاع دایرهٔ دربرگیرنده‌اش برابر با $\frac{R}{2}$ می‌شود (مرکز این دایره میانهٔ پاره‌خط وصل‌کنندهٔ دو نقطهٔ شکل با بیشترین فاصله است). می‌توانید به شکل زیر نگاه کنید.

enter image description here

مساحت دایرهٔ دربرگیرندهٔ گلبرگ برابر است با $$\pi(\frac{R}{2})^2=\frac{\pi R^2}{4}$$

اینک مساحت گلبرگ را بیابیم. $$\begin{array}{ll}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{R\sin 2\theta}rdrd\theta & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\left.\frac{1}{2}r^2\right]_0^{R\sin 2\theta})d\theta\\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\sin^22\theta d\theta\\ & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\frac{1-\cos 4\theta}{2}d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4\theta)d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2(\left.\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{\pi R^2}{8}\end{array}$$ که نصف مساحت دایرهٔ دربرگیرنده (احاطه‌کننده، محیط) اش می‌شود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...