به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
184 بازدید
در دانشگاه توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

فرض کنید $H$ یک فضای هیلبرت حقیقی، $L,K:H \longmapsto H$ عملگرهای خطی کراندار و $ K$ فشرده باشد. نشان دهید:

$$(I-K)L=I \iff L(I-K)=I $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo

راهنمایی:

برای اثبات حکم کافی است نشان دهیم اگر $K$ عملگر فشرده باشد آنگاه $I-K$ وارون پذیر است.

اثبات : از $L(I-K)=I$ داریم $I-K$ یک به بک می باشد پس کاقیست نشان دهیم

$I-K$ پوشاست, بنابرین با فرض پوشایی, $I-K$ وارون پذیر می باشد و لذا وارون راست و چپ برابر بوده و حکم بدست می اید.

اثبات پوشایی $I-K$:

می خواهیم نشان دهیم $R \big(I-K\big)=H $. عملگر وارون پذیر $$(I-K)^{-1}:R \big(I-K\big) \longrightarrow H$$ $H_i=((I-K)^{-1})^{i}(H)$ که می توان نشان داد(؟) $$ H_i \nsupseteq H_{i+1}$$ اگر بخلف فرض کنیم پوشا نباشد با بطور معادل $ \ H_{1}^ \bot \neq{0}$

با اتخاذ دنباله $ \lbrace u_i\rbrace $ که $u_i\in H_j \cap H_{j+1}^{ \perp }$ و $1=||u_i||$ بسادگی می توان با گرفتن این دنباله (؟) نشان دادکه ا عملگر $K$ فشرده نیست, بنابراین عملگر $I-K$ پوشاست.

برای جزییات بیشتر اثبات پوشایی پس از تعمق بیشتر رجوع کنیدبه :

اثبات کامل

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...