به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
68 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Kaz brekker
ویرایش شده توسط Kaz brekker

M وسط وتر BC از مثلث قائم الزاویه ABC است. نقطه D روی AC به طوری قرار دارد که AD=AM است. P را محل برخورد دوم دایره های محیطی مثلث های AMC و BDC است. ثابت کنید P روی نیمساز ACB قرار دارد. تا اونجایی که فکر کردم فکر کنم این قضیه که "یک نقط روی نیمساز فاصله برابری با اضلاع زاویه داره بتونه کمک کنه"

توسط salar
مسئله بسیار زیبایی بود

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط salar
ویرایش شده قبل توسط salar

enter image description here

$O_{1}$ :مرکز دایره محیطی مثلث $BCD$

$O$ :مرکز دایره محیطی مثلث $AMC$

$E$: محل تقاطع دوم خط $O_{1}M$ و دایره $O$

$G$: محل تقاطع خط $AB$ و دایره $O$ بین $A$ و $B$

$F$: محل تقاطع دوم خط $MD$ و دایره $O$

$H$: محل تقاطع خط $PC$ و خط $O_{1}O$

$S$: روی $AC$ طوری انتخاب میکنیم تا $AS=DC$

$K$: محل تقاطع دوم خط $MS$ و دایره $O$

برای سادگی کار تمام زوایا و کمانها را با $x$ و$y$ و$z$ نام گذاری و اندازه میگیریم.

$C$ را به $P$ وصل میکنیم و قرار میدهیم:

$$ \hat{PCM} =y \Rightarrow \frown PM=2y$$ $$ \hat{PCA}=x \Rightarrow \frown AP=2x$$ $$ \Rightarrow \frown AM=2x+2y= \frown CM$$

چون مثلث $AMC$ متساوی الساقین است، پس:

$$ \hat{MAC} =x+y \Rightarrow \frown CM=2x+2y$$

چون دو مثلث $MSA$ و $MDC$ با (ض.ض.ض) هم نهشتند، پس:

$$ \hat{AMK}=\hat{FAC}=z$$ $$ \Rightarrow \frown AK=2z \frown FC$$

چون مثلث $AMD$ متساوی الساقین است در نتیجه:

$$ \hat{SMD}=x+y \Rightarrow \frown KF=2x+2y$$

چون $PC$ وتر مشترک دو دایره می باشند پس $O_{1}O$ عمود منصف $PC$ می باشد و $H$ قائمه هست.

محل تقاطع $O_{1}O$ و $MC$ را $Q$ مینامیم و چون $BC$ وتر دایره $O_{1}$ می باشد و $O_{1}M$ آن را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند پس بر هم عمودند.

در نتیجه در دو مثلث $QHC$ و $QMO_{1}$ دو زاویه برابرند، داریم:

$$(*) \hat{MO_{1}Q}=y$$

از مفروضات داریم:

$$3(2x+2y)+2(2z)=360$$ $$ \Rightarrow \frac{3x+3y}{2} +z=90$$

حال $B$ را بدست میآوریم:

$$B=90-(x+y)= \frac{x+y}{2} +z$$

کمان $GM$ را محاسبه میکنیم:

$$B= \frac{ \frown AC- \frown GM}{2} $$ $$ \Rightarrow \frown GM=x+y+2z=2B$$

کمان $EM$ را محاسبه میکنیم :

مماسی بر دایره $O$ در نقطه $M$ رسم میکنیم و چون $BME$ قائمه است و مماس با $AC$ موازی است پس زاویه بین مماس و $ME$ برابر $B$ میباشد. پس:

$$ \frown EM=2B= \frown GM$$

درنتیجه $G$ و $E$ بر هم منطبق هستند و مکان $E=G$

چون$DC$ وتر دایره $O_{1}$ می باشد پس عمود منصف آن از مر کز $O_{1}$ میگذرد.

و چون مثلث $DFC$ متساوی الساقین است پس عمود منصف $DC$، نیمساز $DFC$ میباشد درنتیجه چون $DFC=x+y$ در نتیجه خط $O_{1}F$ کمان $MC$ را به دو قسمت مساوی به اندازه $x+y$ تقسیم میکند و محل برخورد کمان و خط را $N$ مینامیم.

چون

$$x+y+2z= \frown NF= \frown EM$$

در نتیجه دو وتر $FN=PM$ که در خارج دایره $O$ همدیگر را در $O_{1}$ قطع میکنن مثلث متساوی الساقین $EO_{1}F$ را میسازند و $O_{1}O$ نیمساز $EO_{1}F$ و از (*) و

$$ \hat{FO_{1}E}=x+y $$

داریم:

$$OO_{1}E=\frac{x+y}{2}=y$$ $$ \Rightarrow x=y$$

درنتیجه $PC$ نیمساز زاویه $ACB$ میباشد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...