به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
35 بازدید
در دبیرستان توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa

چرا رابطه زیر تنها برای n های فرد جواب می دهد و اثبات آن چیست؟ $ a^{n} +1=(a+1)( a^{n-1}- a^{n-2}+...-a+1) $ تلاش من: تا آنجا که من تلاش کردم می توان این رابطه را با فرمول مجموع جملات یک دنباله هندسی با قدر نسبت a_ که در آن aیک عدد + است و n فرد اثبات کرد. اما این رابطه برای n های زوج در صورتی که a یک عدد منفی باشد جواب میدهد. لطفا راهنمایی کنید

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط salar

شما یک اشتباه تایپی دارین و اتحاد بصورت زیر درست است

$$a^n+1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}-...+1)$$

برای اتحاد $Z=X.Y$ تمام ریشه های سمت راست باید همان ریشه های سمت چپ باشد

پس:

$$a+1=0 \Rightarrow a=-1$$

حال با جاگذاری این مقدار در سمت چپ اتحاد باید به جواب 0 برسیم تا اتحاد درست باشد

$$(-1)^n+1=0 \Rightarrow (-1)^n=-1$$

از زوج بودن n به تناقض میرسیم

$$1=-1$$

پس برای برقراری تساوی شرط فرد بودن n لازم است تا به تناقض نرسیم.

توسط aaa
سلام
خیلی ممنون از اینکه من رو از اشتباهم آگاه کردید.
همچنین ممنون از اینکه به سوال من پاسخ دادید.اما دو بخش از سوال من مونده.اگه میشه به اون دو تا هم جواب بدید.
توسط salar
ویرایش شده توسط salar
برای اثبات درست حدس زدین
و برای اثبات مثال آوردن کافی نیست ولی برای رد کردن مثال کفایت میکنه
به ابتدا و انتهای جمله دقت کنین و در رابطه با a فقط بر تاثیر آن بر علامت ها در صورتی تمرکز کنید که نتواند این تاثیر را انتقال دهد
اگر سوال دیگری هست واضحتر مطرح کنید تا بجای گمراه کردن راهنمایی کنیم
چون مسائل جای بحث فراوان دارند ولی هدف در ریاضیات یادگیری و کلیت هست
در مواردی تمرکز کنید که قابل تعمیم باشد چون حالات خاص فراوان هستند که عملا فقط در حد مسئله هستند و بعنوان اتحاد یا قضیه مطرح نمیشوند

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...