به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
31 بازدید
در دانشگاه توسط chiman
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $R=K[x_1, x_2, x_3]$و $m= (x_1, x_2, x_3)$ رزولوشن از $R/ m^5$ را پیدا کنید.

(چگونه می توان اعداد بتی را پیدا کرد)

مرجع: نحوه ی بدست آوردن اعداد بتی

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در حالت کلی به کمک نرم افزار $Cocoa $ می توانیم تحلیل یک ایده آل را بیابیم. مثلا برای ایده آل داده شده کافیست دستورات زیر را در نرم افزار اجرا نمایید.

$$Use R ::= QQ[x,y,z];$$ $$I := Ideal(x,y,z);$$ $$Res(R/I^5);$$

اما برای اینکه در حالت دستی خودمان تحلیل رابیابیم. مثال زیر را در نظر بگیرید(مثال گفته شده در سوال خیلی بزرگ است و تحلیل آن به راحتی بدست نمی آید) $$I=(x,y,z^2)$$

تحلیل آزاد آن به صورت $$0\rightarrow F_p \rightarrow \ldots \rightarrow F_1 \rightarrow F_0 \rightarrow I \rightarrow 0$$ است.که در آن ‎$F_i=\oplus_j S(-j)^{\beta_{ij}}$‎ و ‎$S(-j)$‎ یک ‎$S$‎ مدول آزاد است که با ‎$j$‎ درجه شیفت دادن ‎$S$‎ بدست آمده است.

نگاشتی که از ‎$ F_0 $‎ به ‎$ I $‎ است را ‎$ \varphi $‎ می نامیم و همچنین نگاشتی که از ‎$ F_1 $‎ به ‎$ F_0 $‎ است را ‎$ \psi $‎ می نامیم.

عناصر پایه $F_0 $ را به تعداد مولد های ایده آل می گیریم مثلا $$\varphi (e_1)=x $$ $$\varphi (e_2)=y $$ $$\varphi (e_3)=z^2 $$

همانطور که دیده می شود درجه $e_1$ برابر درجه $ x $ است و درجه $e_2$ برابر درجه $y $ است و درجه $e_3$ برابر درجه $z^2 $ است

بنابراین: $$F_0=S(-1)^{2}\oplus_j S(-2)^{1}$$ پس$ \beta_{02} =1$ و $\beta_{01}=2$

برای اینکه تحلیل می نیمال باشد هسته $\varphi $ را می یابیم. باید ترکیب خطی از $e_i $ ها را بیابیم به طوری که با اثر کردن $\varphi $ حاصل صفر شود. دو به دو مولد های $ I$ را در نظر می گیریم. از آنجایی که $y(x)=x(y) $ پس عنصر $ye_1-xe_2 $ را در هسته $\varphi $ داریم و ...

به سادگی عناصر مولد مینیمال هسته $\varphi $ به صورت زیر بدست می آیند: $$ ye_1-xe_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2e_1-xe_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2e_2-ye_3$$

عنصر $ z^2e_1-xe_3 $ را در نظر بگیرید. درجه عنصر $z^2e_1 $ برابر 3 (درجه $ z^2 $ برابر 2 و درجه $ e_1$برابر 1 است) و درجه عنصر $ xe_3$ نیز 3 است (درجه $x $ برابر 1 و درجه $ e_3$برابر 2 است) یعنی عنصر همگن از درجه 3 است. درجه عناصر دیگر هم به طور مشابه بدست می آید.(دو عنصر درجه 3 و یک عنصر درجه 2)

عناصر پایه $ F_1 $ را برابر $g_2 $، $g_1 $ و$g_3 $ در نظر میگیریم و نگاشت $ \psi $ از ‎$ F_1 $‎ به ‎$ F_0 $ را به صورت $$ \psi (g_1)=ye_1-xe_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi (g_2)=z^2e_1-xe_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi (g_3)=z^2e_2-ye_3$$

در نظر می گیریم بنابراین:

$$F_1=S(-2)^{1}\oplus_j S(-3)^{2}$$ پس$ \beta_{12} =1$ و $\beta_{13}=2$

هسته $\psi$ را می یابیم. باید ترکیب خطی از $g_i $ ها را بیابیم به طوری که با اثر کردن $\psi$ حاصل صفر شود.

تنها عنصر

$$ z^2g_1-yg_2+xg_3 $$ وجود دارد.

عنصر $ z^2g_1-yg_2+xg_3 $ را در نظر بگیرید. درجه عنصر $ z^2g_1 $ برابر 4 (درجه $ z^2 $ برابر 2 و درجه $ g_1$برابر 2 است) و درجه عنصر $ yg_2$ نیز 4 است (درجه $y $ برابر 1 و درجه $ g_2$برابر 3 است) و..

یعنی این عنصر همگن از درجه 4 است.

بنابراین:

$$F_2=S(-4)^{1}$$ پس$ \beta_{24} =1$

از آنجایی که هسته نگاشت از ‎$ F_2 $‎ به ‎$ F_1 $ برابر صفر می شود تحلیل در همینجا تمام می شود. یعنی تحلیل به صورت زیر است: $$0\rightarrow S(-4)^{1} \rightarrow S(-2)^{1}\oplus_j S(-3)^{2} \rightarrow S(-1)^{2}\oplus_j S(-2)^{1} \rightarrow I \rightarrow 0$$

توسط erfanm
پاسخ کامل شد

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...