به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
141 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

وزارت راه و ترابری آزادراهی به طول $ 2^{19} =524288 $ متر بین زاهدان و مشهد احداث کرده است و قصد دارد در یک پروژه ی بلند مدت این آزاد راه را مجهز به چراغهای روشنایی کند. در هر روز از بین بزرگ ترین قطعه هایی از آزادراه که هیچ چراغی در آن نیست، نزدیک ترین قطعه به زاهدان انتخاب شده و در نقطه ی وسط آن یک چراغ نصب می شود. هزارویکمین چراغی که نصب میشود چند متر با مشهدفاصله دارد؟

دارای دیدگاه توسط
+1
با کجا فاصله داشته باشه؟؟؟؟
دارای دیدگاه توسط
من این جمله رو متوجه نمیشم: "در هر روز از بین بزرگ ترین قطعه هایی از آزادراه که هیچ چراغی در آن نیست، نزدیک ترین قطعه به زاهدان انتخاب شده و در نقطه ی وسط آن یک چراغ نصب می شود."
دارای دیدگاه توسط
در اولین مرحله فقط یک قطعه داریم پس در وسطش یه چراغ نصب می کنیم. در مرحله ی دوم دو قطعه داریم (کل جاده که بوسیله چراغ به دو قسمت مساوی تقسیم شده) در بین این قطعه ها دنبال بزرگترین می گردیم اگر چند قطعه با هم بزرگترین بودند اونی رو انتخاب میکنیم که به زاهدان نزدیک تره

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
 
بهترین پاسخ

برای نصب اولین چراغ فقط یک قطعه جاده داریم لذا چراغ را در وسط نصب می کنیم و جاده به دو قسمت تقسیم میشود حال چون طول هر دو قطعه با هم برابر است لذا قطعه نزدیک به زاهدان انتخاب می شود و برای مرحله بعد درسته دو قطعه نزدیک به زاهدان داریم اما قطعه دورتر یعنی طرف مشهد بزرگتر است شرط اول بزرگ بودنه و درصورت تساوی طول قطعه ها نزدیکی به زاهدان ملاک قرار می گیرد. فاصله ی چراغ $ n$ ام تا زاهدان را با $ a_{n} $ نمایش میدهیم لذا هدف سوال بدست آوردن $ 2^{19}- a_{1001} $ است.

enter image description here

با کمی دقت در نحوه قرار گرفتن $ a_{n} $ها میبینیم نزدیک زاهدان$ a_{ 2^{i} } $ شروع میشود و تا ا$ a_{ 2^{i+1} } -1$ ادامه می یابد و دوباره نزدیک زاهدان $ a_{ 2^{i+1} } $ شروع می شود و هربار به نسبت $ \frac{1}{2} $ طول قطعه ها کم میشود. لذا فرمول کلی اگر $ n= 2^{k} +t$برابر است با $$ a_{2^{k} +t} = \frac{2^{19}}{2^{k+1}} \times (2t+1)$$ لذا جواب برابر است با

$$\begin{align} 2^{19}- \frac{2^{19}}{2^{10}} \times (2 \times 489+1)& = 2^{9}(2^{10}-979)=2^{9} \times 45\\ &=512 \times 45=23040 \end{align}$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...