به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
104 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amondsen
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید L = $ \lim_{x \rightarrow c }f(x) $ اگر و تنها اگر L = $ \lim_{h \rightarrow 0 }f(c + h) $. در نوشتن تعریف اپسیلون-دلتایی حد برای این دو رابطه مشکل دارم.

مرجع: حسابان توماس (فصل دو حد و پیوستگی بخش 3 تمرین 52 )
توسط AmirHosein
@amondsen
- می‌شود به تلاش خودتان برای حل این پرسش نیز اشاره کنید مثلا آیا تعریف حد را برای دو عبارت نوشته‌اید و تلاش کنید که آنها را به هم تبدیل کنید یا خیر؟
- عنوان پرسش را بهتر انتخاب کنید. اثبات یک گزاره در فلان موضوع، عنوان مناسبی نیست چون در آن موضوع گزاره‌های بسیاری هستند. عنوان باید برساند که در پرسش چه چیزی هست.
توسط amondsen
ویرایش شده توسط amondsen
@AmirHosein
بله ولی به جایی نتونستم برسونمش (در واقع نتونستم درست بنویسمش) و در مورد عنوان حقیقتا عنوان بهتری به ذهنم نرسید. ولی چشم سعی میکنم پرسش رو بهتر کنم
توسط AmirHosein
@amondsen برایتان ویرایش کردم، می‌توانید مقایسه کنید.
توسط amondsen
+1
@AmirHosein
بسیار از لطفتون متشکرم .بله پرسش واضح تر و بهتر شد

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط amondsen
 
بهترین پاسخ

تعریفِ $\varepsilon-\delta$ایِ $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ را بنویسید؛ $$\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\text{ s.t. }|x-c|<\delta\Longrightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$$ اینکه $|x-c|<\delta$ به چه معناست؟ یعنی $x\in(c-\delta,c+\delta)$. اگر یک عدد در این بازه باشد آنگاه تفاضلش از $c$ چه مقادیری می‌تواند باشد؟ این تفاضل را ب $h$ نشان دهید، $h$ تنها می‌تواند در بازهٔ $(-\delta,\delta)$ باشد و به ازای هر $h$ای از این بازه یک $x$ در بازهٔ قبلی هست که تفاضلش از $c$ برابر با آن شود. در نتیجه $$\Big(x\in(c-\delta,c+\delta)\Big)\equiv \Big(x=c+h,\;h\in(-\delta,\delta)\Big)$$ پس در عبارت قبلی می‌توان $x$ را با $c+h$ جایگزین کرد پس $f(x)$ می‌شود $f(c+h)$ و به جای شرطِ $x\in(c-\delta,c+\delta)$، شرطِ $h\in(-\delta,\delta)$ را قرار می‌دهیم که برابر با $h\in(0-\delta,0+\delta)$ پس $|h-0|<\delta$ است. داریم؛ $$\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\text{ s.t. }|h-0|<\delta\Longrightarrow|f(c+h)-L|<\varepsilon$$ که تعریفِ اپسیلون-دلتاییِ $\lim_{h\rightarrow 0}f(c+h)=L$ است. چون فقط از هم‌ارزی (نه نتایج یک‌طرفه) در مسیرمان استفاده کردیم پس نتیجه‌مان اگر و تنها اگر است. یعنی هر دو فرمول یک چیز را بیان می‌کنند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...