به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
43 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mahdilotfi

ثابت کنید هر عدد طبیعی به جز توان های 2 را میتوان به صورت مجموع چند عدد متوالی نوشت مثال : 10 = 1+2+3+4▏ 6 = 1+2+3▏ 3 = 1+2▏

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط Mahdimoro
انتخاب شده توسط mahdilotfi
 
بهترین پاسخ

ابتدا ثابت میکنم توان های ۲ را نمیتوان به این صورت نوشت.فرض کنید داشته باشیم: $$m+(m+1)+...+(m+n-1) = k,m \geq 1,n \geq 2,k \geq 2$$ $$ \Longrightarrow mn+(1+2+...+(n-1))=k$$ $$\Longrightarrow mn+ \frac{n(n-1)}{2}=k$$ $$\Longrightarrow \frac{n(2m+n-1)}{2}=k $$ $$\Longrightarrow n(2m+n-1) = 2k \tag1$$ اما از بین $n$ و $2m+n-1$ قطعا یکی فرد است بنابراین باید سمت راست تساوی عاملی فرد داشته باشد و بنابراین $k$ نمیتواند توانی از دو باشد. حال فرض کنید $k$ توانی از دو نیست بنابراین میتوان آن را به صورت $k=2^ts$ نمایش داد که در آن s عددی فرد و بزرگتر از ۱ است.بنابر (۱) داریم: $$n(2m+n-1) =2k = 2^{t+1}s$$ اکنون ۲ حالت داریم:

  1. $s \geq 2^{t+1}$:

در این حالت کافی است قرار دهیم $n=2^{t+1}$ و از آنجا داریم: $$2m+n-1=s \Longrightarrow m = \frac{s-n+1}{2}= \frac{s-2^{t+1}+1}{2} $$ که صورت سمت راست عددی زوج و مثبت است . بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس یک جواب پیدا شد.

  1. :$s \leq 2^{t+1}$

در این حالت قرار میدهیم $n=s$ و از آنجا داریم: $$2m+n-1 = 2^{t+1} \Longrightarrow m=\frac{2^{t+1}-n+1}{2}= \frac{2^{t+1}-s+1}{2} $$ در این حالت نیز صورت عبارت سمت راست عددی زوج و مثبت است. بنابراین $m$ نیز طبیعی است. پس در این حالت نیز یک جواب پیدا شد.

توسط mahdilotfi
نمایش از نو توسط mahdilotfi
+1
خیلی ممنون از پاسخ کاملتون فقط میشه بگین چرا آخرش دو حالت در نظر گرفتین ؟؟
ممنون.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...