به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
90 بازدید
در دبیرستان توسط alitk (200 امتیاز)
$ x^{4}+2 y^{3}-x=- \frac{1}{4}+3 \sqrt{3} $

و

$ y^{4}+2 x^{3}-y=- \frac{1}{4}-3 \sqrt{3} $ با جمع و تفریق دو معادله،سعی کردم تجزیه کنم ولی مقدار یک دوم یا سه رادیکال سه،اضافی میآیند.

توسط AmirHosein (10,367 امتیاز)
–1
@alitk مرجع فقط اثر قابل دسترس است، «طرح توسط معلم» مرجع قابل دسترس نیست، پس نباید در بخش مرجع نوشته شود، ولی می‌توانید در قسمت متن سوال آن را اضافه کنید. معلم چه درسی و در مورد چه بخشی از درس چنین پرسشی به شما داده‌است؟ به نظر پرسش نامناسبی برای مدرسه است. ولی با استفاده از ابزارهای هندسهٔ جبری یا آنالیز عددی دستگاه شما ۴ پاسخ حقیقی دارد که ریشه‌های یک معادلهٔ درجهٔ ۱۶ تک‌متغیره هستند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,107 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

با تغییر متغیر$ ( x^{2} +x)= \alpha $ و $( y^{2} +y)= \beta $ داریم $x^{4} + x^{2} +2 x^{3} = \alpha ^{2}$ و$ y^{4} + y^{2} +2 y^{3} = \beta ^{2} $ اگر در این دستگاه بجای $ x^{2} و y^{2} $ مقادیر $ x^{2} = \alpha -x و y^{2} = \beta -y$ قرار دهیم سپس دو طرف دستگاه را باهم جمع کنیم باتوجه به صورت مسئله داریم$ ( x^{4} +2 y^{3} -x+ y^{4} +2 x^{3} -y=- \frac{1}{2} )$ درنتیجه $ \alpha + \beta = \alpha ^{2} + \beta ^{2} + \frac{1}{2} $ اگر این معادله را برحسب $ \alpha $ مرتب کنیم داریم $ \alpha ^{2} - \alpha + \beta ^{2} - \beta + \frac{1}{2} =0 $دراین معادله درجه 2 مقدار $ \bigtriangleup $ رابدست می آوریم $ \bigtriangleup =1-4 x \beta ^{2} +4 \beta -2=- (2 \beta -1)^{2} $ اگرجواب حقیقی بخواهیم باید مقدار$ \bigtriangleup $صفرشودزیرا همواره منفی است.بنابراین $ 2 \beta -1=0 $ درنتیجه$ \beta = \frac{1}{2} $ اگراین مقدار را درآن تغییر متغیر قرار دهیم خواهیم داشت $ y^{2} +y- \frac{1}{2} =0 $ برای این معادله دو جواب بدست می آیدکه یکی برای مقدار x ودیگری برای y است $ y= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2} $ و $ x= \frac{-1- \sqrt{3} }{2} $همچنین میتوان جواب های موهومی رانیز بدست آورد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...