به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
871 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل کنید.

$$ \begin{cases} \sqrt{x}+y=11 \\ \sqrt{y}+x=7 \end{cases} $$
مرجع: ریاضیات پیشرفته سوم راهنمایی
دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا برای طرح سوال از امکانات تایپ سایت استفاده کنید.
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+2
$x=4$

$y=9$

برا حلشم میشه از حل دستگاه ها به روش غیرخطی (انلیز عددی) کمک گرفت به نظرم البته!!!!!!!!!!!

البته تو این روش باید یه حدس اولیه بزنی به کمک این روش بجواب واقعی نزدیکتر شی.
دارای دیدگاه توسط
+2
آیا $x$ و$y$ اعداد طبیعی هستند؟
دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا راه حل
دارای دیدگاه توسط
زیر 10،بله هستند

2 پاسخ

+6 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

حل برای وقتی که $x,y$ صحیح باشند:

اولا باید $x,y\geq 0$ چون هر دو زیر رادیکال هستند.

ثانیا هر دو به صورت مربع کامل هستند زیرا $x=(11-y)^2$و $y=(7-x)^2$.

از طرفی چون $\sqrt x+y=11$ پس $0\leq y\leq 11$ و چون $\sqrt y+x=7$ لذا $0\leq x\leq 7$.

بنابراین تنها کاندیدهای ممکن برای $x$عبارت اند از $0,1,4$ و برای $y$ عبارت اند از $0,1,4,9$

بابررسی موارد بالا معلوم می شود جواب برابر است با $x=4$ و $y=9$.


حل معادله در حالت کلی:

قرار دهید: $a=\sqrt x$و $b=\sqrt y$ در اینصورت معادلات بالا به صورت زیر در می آیند: $$\begin{cases}a +b^2=11\\b+a^2=7\end{cases} $$ داریم $b=7-a^2$ و لذا $a+(7-a^2)^2=11$ با ساده کردن به معادله ی $$a^4-14a^2+a+38=0$$ می رسیم. لذا کافی است این معادله را حل کنیم. راه هایی برای حل معادله درجه چهارم وجود دارد ولی خیلی طولانی و خسته کننده است . کافی است ببینید که $a=2$ یک ریشه ی این معادله است که $\sqrt x=2$ نتیجه می دهد $x=4$یک ریشه معادله است و از $y=(7-x)^2$ نتیجه می شود $y=9$. و با تقسیم عبارت $ a^4-14a^2+a+38=0$ بر $(a-2)$ به معادله ی $a^3+2a^2-10a-19=0$ می رسید که با حل آن می توانید مابقی ریشه ها را به دست آورید.

ریشه های دقیق رو در اینجا ببینید: Wolframalpha

دارای دیدگاه توسط
+1
البته جوابی که نوشتم فقط برای حالتیه که $x,y$ اعدادی صحیح باشند.
دارای دیدگاه توسط
تشکراز پاسخ  تان
دارای دیدگاه توسط
@fardina
ایده ی جالبی به ذهنتون رسیده ولی اگه $x$ و $y$ صحیح نباشند و یا اینکه معادله طوری باشه که حدس زدن امکان پذیر نباشه چطور؟؟؟
دارای دیدگاه توسط
+2
@رها
به پاسخم حل معادله در حالت کلی رو اضافه کردم.
+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ابتدا

$ \sqrt{x}, \sqrt{y} \geq 0$ به دليل اينكه هر دو در زير راديكال قرار گرفته اند

حال حل سوال

$$ \begin{cases} \sqrt{x} +y=11& \\ \sqrt{y}+x=7 & \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y= 11- \sqrt{x} & \\y= (7-x)^{2} & \end{cases} $$ $$11- \sqrt{x}=49+ x^{2}-14x \Longrightarrow x^{2}-14x+ \sqrt{x} =-38 $$ $$ \Longrightarrow \sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19) $$

وچون $$ \sqrt{x} \geq 0 $$

$ \sqrt{x} $ يا $19$ مي باشد يا $2$

حال اگر به جاي$ \sqrt{x} $ ,$19$ را در معادله قرار دهيم يعني $19+y=11 $ صدق نميكند زيرا جمع $19$ با يك عدد مثبت يا صفر($y$) هيچگاه $11$ نميشود

پس $ \sqrt{x}=2 \Longrightarrow x=4$ ميشود .

واگر در معادله به جاي $x$ قرار دهيم $4$ مجهول ديگر يعني $y$ برابر مي شود با$y=9$

بنابراين $$x=4, y=9 $$

دارای دیدگاه توسط
+2
در واقع فرض کردید $x,y$ صحیح باشند و فقط جواب های صحیح را به دست آورده اید. چون از $\sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19)$ فقط نتیجه گرفته اید که $\sqrt x$ برابر $19$ یا $2$ است. در حالیکه ممکن است مثلا برابر $\frac {19}2$ و $(x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-4$ باشدو یا حتی برابر عدد گنگی باشند.
ولی در صورتی که حل دستگاه را فقط برای اعداد صحیح بخواهیم در اینصورت پاسخ درست است.
دارای دیدگاه توسط
+1
بله شما درست مي فرمائيد
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...