به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
1,176 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian
ویرایش شده توسط fardina

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل کنید.

$$ \begin{cases} \sqrt{x}+y=11 \\ \sqrt{y}+x=7 \end{cases} $$
مرجع: ریاضیات پیشرفته سوم راهنمایی
توسط erfanm
+1
لطفا برای طرح سوال از امکانات تایپ سایت استفاده کنید.
توسط behruz
ویرایش شده توسط erfanm
+2
$x=4$

$y=9$

برا حلشم میشه از حل دستگاه ها به روش غیرخطی (انلیز عددی) کمک گرفت به نظرم البته!!!!!!!!!!!

البته تو این روش باید یه حدس اولیه بزنی به کمک این روش بجواب واقعی نزدیکتر شی.
توسط erfanm
+2
آیا $x$ و$y$ اعداد طبیعی هستند؟
توسط rezasalmanian
+1
لطفا راه حل
توسط rezasalmanian
زیر 10،بله هستند

2 پاسخ

+6 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

حل برای وقتی که $x,y$ صحیح باشند:

اولا باید $x,y\geq 0$ چون هر دو زیر رادیکال هستند.

ثانیا هر دو به صورت مربع کامل هستند زیرا $x=(11-y)^2$و $y=(7-x)^2$.

از طرفی چون $\sqrt x+y=11$ پس $0\leq y\leq 11$ و چون $\sqrt y+x=7$ لذا $0\leq x\leq 7$.

بنابراین تنها کاندیدهای ممکن برای $x$عبارت اند از $0,1,4$ و برای $y$ عبارت اند از $0,1,4,9$

بابررسی موارد بالا معلوم می شود جواب برابر است با $x=4$ و $y=9$.


حل معادله در حالت کلی:

قرار دهید: $a=\sqrt x$و $b=\sqrt y$ در اینصورت معادلات بالا به صورت زیر در می آیند: $$\begin{cases}a +b^2=11\\b+a^2=7\end{cases} $$ داریم $b=7-a^2$ و لذا $a+(7-a^2)^2=11$ با ساده کردن به معادله ی $$a^4-14a^2+a+38=0$$ می رسیم. لذا کافی است این معادله را حل کنیم. راه هایی برای حل معادله درجه چهارم وجود دارد ولی خیلی طولانی و خسته کننده است . کافی است ببینید که $a=2$ یک ریشه ی این معادله است که $\sqrt x=2$ نتیجه می دهد $x=4$یک ریشه معادله است و از $y=(7-x)^2$ نتیجه می شود $y=9$. و با تقسیم عبارت $ a^4-14a^2+a+38=0$ بر $(a-2)$ به معادله ی $a^3+2a^2-10a-19=0$ می رسید که با حل آن می توانید مابقی ریشه ها را به دست آورید.

ریشه های دقیق رو در اینجا ببینید: Wolframalpha

توسط fardina
+1
البته جوابی که نوشتم فقط برای حالتیه که $x,y$ اعدادی صحیح باشند.
توسط rezasalmanian
تشکراز پاسخ  تان
توسط رها
@fardina
ایده ی جالبی به ذهنتون رسیده ولی اگه $x$ و $y$ صحیح نباشند و یا اینکه معادله طوری باشه که حدس زدن امکان پذیر نباشه چطور؟؟؟
توسط fardina
+2
@رها
به پاسخم حل معادله در حالت کلی رو اضافه کردم.
+5 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا

$ \sqrt{x}, \sqrt{y} \geq 0$ به دليل اينكه هر دو در زير راديكال قرار گرفته اند

حال حل سوال

$$ \begin{cases} \sqrt{x} +y=11& \\ \sqrt{y}+x=7 & \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y= 11- \sqrt{x} & \\y= (7-x)^{2} & \end{cases} $$ $$11- \sqrt{x}=49+ x^{2}-14x \Longrightarrow x^{2}-14x+ \sqrt{x} =-38 $$ $$ \Longrightarrow \sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19) $$

وچون $$ \sqrt{x} \geq 0 $$

$ \sqrt{x} $ يا $19$ مي باشد يا $2$

حال اگر به جاي$ \sqrt{x} $ ,$19$ را در معادله قرار دهيم يعني $19+y=11 $ صدق نميكند زيرا جمع $19$ با يك عدد مثبت يا صفر($y$) هيچگاه $11$ نميشود

پس $ \sqrt{x}=2 \Longrightarrow x=4$ ميشود .

واگر در معادله به جاي $x$ قرار دهيم $4$ مجهول ديگر يعني $y$ برابر مي شود با$y=9$

بنابراين $$x=4, y=9 $$

توسط fardina
+2
در واقع فرض کردید $x,y$ صحیح باشند و فقط جواب های صحیح را به دست آورده اید. چون از $\sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19)$ فقط نتیجه گرفته اید که $\sqrt x$ برابر $19$ یا $2$ است. در حالیکه ممکن است مثلا برابر $\frac {19}2$ و $(x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-4$ باشدو یا حتی برابر عدد گنگی باشند.
ولی در صورتی که حل دستگاه را فقط برای اعداد صحیح بخواهیم در اینصورت پاسخ درست است.
توسط saderi7
+1
بله شما درست مي فرمائيد

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...