به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
134 بازدید
در دبیرستان توسط ft1376 (37 امتیاز)

در شکل زیر M,N,P,Q وسط اضلاع مربع ABCD میباشند. ثابت کنید چهار ضلعی 'A'B'C'D مربع است و طول ضلع آن برابر است با AP 2/5

توسط AmirHosein (10,165 امتیاز)
+1
@ft1376 به عنوان راهنمایی سه گوشه‌های AA'Q و ADP و DD'P متشابه هستند. از این نکته درازا (طول) یال (ضلع) چهاریالی (چهرضلعی) کوچک خواسته شده بدست می‌آید (توجه کنید که برای سه یال دیگر باید سه گوش های نظیرش را بردارید که با سه گوش های معرفی شده مان هم متشابه هستند). فرض را بر این گذاشتم که قائمه بودن زاویه ها را از قبل می‌دانید چگونه ثابت می‌شوند به خاطر چیزهایی که با مداد به شکل اضافه کردید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,090 امتیاز)
انتخاب شده توسط ft1376
 
بهترین پاسخ

بنام خدا.طبق شکل چهار مثلث ADP و DCN و CBM و BAQبه حالت دو ضلع وزاویه بین مساوی(هم نهشت) هستندبنابراین زوایای با شماره 1 مساوی و زوایای باشماره 2 نیز باهم مساویند. چون جمع زوایای1 و 2 مساوی 90 درجه است بنا براین تمام زوایای چهار ضلعی $ A' B' C' D' $مساوی 90 درجه خواهد بود. در مثلث$AA' B$ از نقطه M وسط ABپاره خط $M B' $ عمود بر$ A' B$رسم شده است طبق قضیه تالس اولا $ A' B' = B' B$ثانیاُ$M B' = \frac{1}{2} AA' $ بنابراین اگر$ A' B' =X$ در نظر بگیریم در مثلث قائم الزاویه $A A' B$ داریم $ AB^{2} = A A' ^{2} + A' B^{2} $ یعنی $ AB^{2} =5 x^{2} $ حال اگر این مقادیر رادر مثلث قائم الزاویه ADP قرار دهیم خواهیم داشت $5 x^{2} + ( \frac{ \sqrt{5 x^{2} } }{2}) ^{2} = AP^{2} $ بنابراین $ \frac{25}{4} x^{2} = AP^{2} $ در نتیجه $x= \frac{2}{5} AP$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...