به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
158 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $E $ جبر خارجی ($Exterior \ algebra $) روی $ K $ فضای برداری $ V $ با پایه های $ e_{1} ,e_{2} ,e_{3} ,e_{4} $باشد و همچنین فرض کنید $ J \subseteq E $ توسط عنصر $ e_{1} \wedge e_{2} + e_{3} \wedge e_{4} $ تولید شود نشان دهید برای حالت $i=3,4$ داریم $J_{i}= E_{i} $ و همچنین ${\rm in }_{ \prec }\big(J\big) $ را محاسبه کنید.

مرجع: مثال $5.2.2$ کتاب هرزوگ هیبی
دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا راهنمای سایت رو مطالعه بفرمایید:
قسمت راهنمای پرسش:
"...لطفا مساله خود را کامل توضیح دهید و از نوشتن عباراتی نظیر " با توجه به نمودار صفحه 16 از کتاب..." یا "بنابر قضیه 1.1 از کتاب..." پرهیز کنید و تمام مفروضات مورد نیاز را بنویسید..."
الان شما اصلا مساله رو توضیح ندادید و برای کاربران و بازدیدکنندگان بعدی سایت اصلا مفید واقع نمیشه.
ممنون میشم اگه قوانین سایت رو رعایت کنید.
دارای دیدگاه توسط
برای اینکه همه بتونیم از سوال بهره ببریم باید سوال رو کامل بنویسی لطفا این اصل رو رعایت بفرمایید.
دارای دیدگاه توسط
سلام و عذر تقصیر.!ازین به بعد دقیق تر خواهم نوشت.!

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ابتدا $E_{3} $ را میابیم. چون$E $ توسط$ e_{1} ,e_{2} ,e_{3} ,e_{4} $ تولید می شود لذا $ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} $و$ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{4} $و$e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $و$ e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $ در $ E$ هستند و چون درجه $3$ هستند لذا در $E_{3} $ قرار دارند. وبه سادگی میتوان دید که فقط همین$4$ پایه را دارد.

برای بدست آوردن $J_{3}$ چون $ e_{1} \wedge e_{2} + e_{3} \wedge e_{4} $ در $J$ است لذا اگر آن را با $e_{3} $ وج دهیم باز در $J $ است لذا $$( e_{1} \wedge e_{2} + e_{3} \wedge e_{4})\wedge e_{3}=e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} +e_{3} \wedge e_{4} \wedge e_{3}=e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} +0 \in J $$

بطور مشابه هر بار با $e_{i} $ وج میدهیم و تمام پایه های $E_{3} $ تولید میشوند لذا $J_{3}= E_{3}$

همچنین $E_{4}$ توسط $ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $ تولید میشود و اگر مولد $J $ را با $ e_{3} \wedge e_{4} $ وج دهیم همین عنصر پدید می آید لذا$ J_{4}= E_{4} $ و حکم اول ثابت شد.

برای یافتن ${\rm in }_{ \prec}(J) $ ابتدا دقت میکنیم که در $ J $ عنصر از درجه ی $5$ نداریم تمام عناصر در $J$ ترکیبات خطی از عناصری هستند که در بالا ذکر شده است اگر انیش هر یک را حساب کنیم عناصر زیر را داریم:

$$e_{1} \wedge e_{2} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{4} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} \ \ ,\ e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4}$$ و $$ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $$

که از بین آنها مینیمال مولد را انتخاب میکنیم لذا $ {\rm in }_{ \prec}(J)=( e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} ,e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4})$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...