به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
89 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amir h (80 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید اگر $2^x-1$ اول باشد انگاه $2^{x-1}(2^x-1)$ عددی کامل (تام)خواهد بود.در کتابی خواندم که این قضیه را اقلیدس ثابت کرده است.اما اثبات ان را پیدا نکردم

توسط AmirHosein (10,668 امتیاز)
+1
@amir_h عنوان پرسش را برایتان ویرایش کردم. عنوان پرسش نباید فقط یک نام، اصلاح یا اسم مبحث باشد بلکه باید پرسش را به طور خلاصه اشاره کند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (10,668 امتیاز)

اینکه نخستین بار اقلیدس این گزاره را ثابت کرده‌است یا فرد دیگری را من نمی‌دانم ولی اثبات این گزاره کار خاصی ندارد و تنها با آشنا بودن با دنباله‌های هندسی، تعریف عدد اول و عدد تام و قضیهٔ اساسی حساب می‌توان سریع آن را حدس زد.

چون $2^x-1$ را اول فرض کردید پس تجزیهٔ عدد $y=2^{x-1}(2^x-1)$ به حاصلضرب شمارنده‌های اولش دقیقا همین نمایشِ کنونی‌اش می‌شود. پس بدیهیا تمام شمارنده‌هایش برابر می‌شوند با $$\{1,2^1,\cdots,2^{x-2},2^{x-1},\;(2^x-1),2(2^x-1),\cdots,2^{x-1}(2^x-1) \} $$ اکنون توجه کنید که $y$ تام می‌شود اگر جمع همهٔ شمارنده‌هایش غیر از خودش، برابر با خودش شود. پس باید تمام اعضای مجموعهٔ بالا غیر از عضو آخر را با هم جمع کنیم و ببینیم آیا برابر خودش می‌شود یا خیر. توجه کنید که اعضای این مجموعه را می‌توان در دو دسته گذاشت. دستهٔ یک شامل توان‌های ۲ از صفر تا $x-1$ است و دستهٔ دو شامل همان اعضای دستهٔ یکُم است که در $2^x-1$ ضرب شده‌اند. پس جمع مربوطه برابر است با $$\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-1}2^i(2^x-1)$$ اما خود عدد $y$ را نباید جمع کنیم پس این عدد را از جمع بالا حذف می‌کنیم. $$\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-1}2^i(2^x-1)-2^{x-1}(2^x-1)=\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-2}2^i(2^x-1)$$ به یاد آورید که جمع جملهٔ شروع، $i=0$ تا جملهٔ $r$اُم، $i=r-1$، یک دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $q$ و جملهٔ شروع $a$ برابر می‌بود با $$a+aq+aq^2+\cdots+aq^{r-1}=a(\frac{1-q^r}{1-q})$$ پس نتجیهٔ آخر برابر است با $$\begin{array}{ll} \sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-2}2^i(2^x-1) & =1(\frac{1-2^x}{1-2})+(2^x-1)(\frac{1-2^{x-1}}{1-2})\\ & =(2^x-1)+(2^x-1)(2^{x-1}-1)\\ & =(2^x-1)\Big(1+2^{x-1}-1)\\ & =2^{x-1}(2^x-1)=y \end{array}$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...