به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
90 بازدید
در دانشگاه توسط s.j.sss (108 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

با سلام اگر یک منحنی که در مختصات قطبی برحسب r و$ \theta $ بیان شده باشد، داشته باشیم آیا از داشتن تقارن نسبت به محور x و نسبت به محور y میتوان متقارن بودن نسبت به مبدا را نتیجه گرفت؟ اگر میشود چگونه؟ و اگر نمیشود لطفا یک مثال نقض بیاورید با تشکر

توسط AmirHosein (9,934 امتیاز)
+2
@s.j.sss منطورتان این است که نسبت به محور $r$ها و $\theta$های صفحهٔ قطبی تقارن را دارید و مي‌خواهید ببینید آیا تقارن نسبت به مبدأ مختصات در صفحهٔ دکارتی را می‌شود نتیجه گرفت یا خیر، درست می‌گویم؟ چون محور $x$ها و $y$ها دیگر در صفحهٔ $r\circ\theta$ که مربوط به مختصات قطبی است وجود ندارند، بلکه محور افقی اسمش الآن محور $r$ها و محور عمودی اسمش محور $\theta$ها است. اگر تقارن نسبت به محور $x$ها و محور $y$ها را فرض بگیرید و سپس تقارن نسبت به مبدأ مختصات دکارتی را بخواهید، که دیگر پرسش‌تان به همان مختصات دکارتی برمی‌گردد.
توسط s.j.sss (108 امتیاز)
حقیقتا یکی از دوستانم این سوال را از من پرسیدند. و من برای اینکه دقیق منظورم رو بیان کنم یک مثال میزنم:
در مبحث رسم نمودار هایی که در مختصات قطبی بیان شده اند مثلا میگفتند که اگر به جای (r,theta) در رابطه (r,-theta) قرار دادید و رابطه شما هیچ تغییری نکند میتوان گفت نسبت به محور x متقارن است و به جای مقدار دادن از 0 تا 2pi، مثلا از 0 تا pi مقدار میدهیم و سپس شکل را قرینه میکنیم
توسط AmirHosein (9,934 امتیاز)
@s.j.sss خب حدسم درست بود، فرض شما تقارن نسبت به محورهای $r$ و $\theta$ است نه محورهای $x$ و $y$. و در مثالی که زدید باید بگوئید نسبت به محور $r$ها تقارن دارد نه $x$ها چون شما اصلا محوری به اسم $x$ها در صفحه‌ای که نقطهٔ $(r,\theta)$ را گذاشته‌اید ندارید و $r$ را با $-r$ جابجا کرده‌اید نه $x$ را با $-x$.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (9,934 امتیاز)
انتخاب شده توسط s.j.sss
 
بهترین پاسخ

فرض می‌کنیم مجموعهٔ $A\subseteq\mathbb{R}^2$ را که می‌تواند نمودار یک تابع باشد یا یک شکل هندسی یا در کل یک مجموعه باشد را بر روی هر دو صفحهٔ دکارتی و قطبی نمایش داده‌ایم. فرض کنیم در نمایشِ آن در صفحهٔ قطبی (توجه کنید محورهای این صفحه با $r$ و $\theta$ علامت‌گذاری می‌شوند نه $x$ و $y$، و این صفحه را $r\circ\theta$ می‌نامند) تقارن نسبت به محور $r$ها و محور $\theta$ها داریم یعنی اگر نقطهٔ $(r_0,\theta_0)$ غضوِ $A$ باشد آنگاه نقطه‌های $(-r_0,\theta_0)$ و $(r_0,-\theta_0)$ نیز عضوِ $A$ هستند. اکنون پرسش این است که آیا در صفحهٔ $x\circ y$ شکلِ مجموعهٔ $A$ تقارن نسبت به مبدأ مختصات دارد؟ این تقارن به این معناست که اگر نقطهٔ $(x_0,y_0)$ عضوی از $A$ باشد آنگاه نقطهٔ $(-x_0,-y_0)$ نیز عضو $A$ است؟

برای اینکه از فرض‌هایمان بتوانیم استفاده کنیم به یاد آورید که اگر نقطه‌ای مثلا $P$ مختصات دکارتی و قطبی‌اش را به ترتیب با $(x,y)$ و $(r,\theta)$ نمایش دهیم آنگاه داریم $x=r\cos(\theta)$ و $y=r\sin(\theta)$. پس نقطهٔ $(-x,-y)$ باید در رابطه‌های زیر صدق کند: $$ \begin{array}{l} -x=-r\sin(\theta)=(-r)\sin(\theta)\\ -y=-r\cos(\theta)=(-r)\cos(\theta) \end{array} $$ یعنی نمایشِ قطبیِ $(-x,-y)$ برابر است با $(-r,\theta)$ که با توجه به تقارن نسبت به محور $r$ها عضو $A$ است. پس پاسخ «بلی» است.

توجه کنید که اصلا نیازی به تقارن نسبت به محور $\theta$ها نشد. در واقع تقارن نسبت به محور $r$های قطبی هم‌ارز (معادل) با تقارن نسبت به مبدأ مختصات دکارتی است.

البته توجه کنید که اگر شرطِ $r>0$ و $\theta\in[0,2\pi)$ را بگذارید دیگر از عباراتی چون تقارن نسبت به محورهایِ مختصات قطبی نمی‌توان صحبت کرد و به جای $r$، مقدار $-r$ بگذارید. و توجه کنید که به جای تقارن دادن نسبت به خطِ صفحهٔ قطبیِ $\theta=\pi$ می‌توانید محدودهٔ $[-\pi,\pi)$ را در نظر بگیرید و از همان $\theta\rightarrow -\theta$ استفاده کنید.

+3 امتیاز
توسط vali (287 امتیاز)
ویرایش شده توسط vali

فرض کنید منحنی قطبی دارای نمایشی به‌فرم $ F(r,\theta)=0 $ باشد. این منحنی را متقارن نسبت به محور قطبی گویند هرگاه با تبدیل $ (r,\theta) $ به $ \left( (-1)^n r, n\pi-\theta \right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند و نسبت به محور $ \frac{\pi}{2} $ متقارن گویند هرگاه با تبدیل $ (r, \theta) $ به $ \left((-1)^{n+1} r , n\pi-\theta \right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند و در نهایت منحنی نسبت به قطب متقارن است اگر با تبدیل $ (r,\theta) $ به $ \left( (-1)^{n+1} r, n\pi+\theta\right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند.

حال فرض کنید منحنی $ F(r,\theta)=0 $ نسبت به محور قطبی و محور $ \frac{\pi}{2} $ متقارن باشد. نشان می‌دهیم نسبت به قطب هم متقارن است. چون منحنی $ F(r,\theta)=0 $ نسبت به محور قطبی متقارن است، برای هر عدد طبیعی $n_1$ داریم $$ F\left((-1)^{n_1} r, n_1\pi-\theta \right)=0.$$

منحنی اخیر نسبت به محور $\frac{\pi}{2}$ نیز متقارن است، لذا برای هر عدد طبیعی $n_2$ $$F\left((-1)^{n_1}(-1)^{n_2+1}r, n_2\pi-(n_1\pi-\theta) \right)=0$$ یا $$F\left((-1)^{n_1+n_2+1} r, (n_2-n_1)\pi+\theta \right)=0.$$ این همان تقارن نسبت به قطب می‌باشد. بقیه حالت‌ها را می‌توانید به همین روش به‌دست بیاورید.

توسط vali (287 امتیاز)
+2
@AmirHosein ممنون از یادآوری نکات ارزشمندتون. تغییرات لازم اعمال شد. سپاس.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...