به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
102 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

سلام، دوستان و اساتید کسی روش یا فرمولی رو می‌دونه که باهاش بشه حاصل جمع جملات دنباله های غیر خطی درجه دو رو بدست آورد؟

توسط good4us (3,251 امتیاز)
+2
اگر جمله عمومی چندجمله ای درجه دوم است وحداقل سه جمله آن را دارید با جانشینی شماره آن جملات در صورت کلی آن  $$ an^2+bn+c $$به ضرایب دست پیدا می کنید و جمله عمومی کاملا معین میشود
توسط
–4
@good4us لطفاً پرسش من را با دقت بخوانید بعد پاسخ دهید.
من به دنبال جمله عمومی دنباله درجه دو نیستم، به دنبال محاسبه‌ی حاصل جمع آن هستم با استفاده از فرمول
توسط AmirHosein (10,354 امتیاز)
@Armin.sm جملهٔ نخست‌تان خیلی لحن خوبی ندارد. به جای‌تان باشم دیدگاهم را ویرایش و جملهٔ نخست را حذف می‌کنم. وقتی توضیحی از تلاش خودتان در پست‌تان نمی‌گذارید، هر چیزی می‌تواند ابهامِ شما فرض شود. چرا نتوانسته‌اید این سوال را حل کنید؟ با نگاه کردن به متنی که برای سوال نوشته‌اید، یک احتمال نتوانستنِ پیدا کردنِ جمله‌عمومی است. آقای @good4us راهنمایی‌تان کرده‌اند. خودتان برای پیدا کردن فرمول جمع تا به حال چه کرده‌اید؟
توسط m.t.riazi (272 امتیاز)
ویرایش شده توسط m.t.riazi
+1
@Amin.sm
تلاش خودتون رو در حل این سوال بنویسید.
توسط admin (1,528 امتیاز)
+1
کافیه به من یک پیام داده و بخواهید اکانت شما را حذف کنم.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط m.t.riazi (272 امتیاز)
انتخاب شده
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

دنباله ای که در صورت سوال به آن اشاره شده، دنباله غیر خطی از درجه دوم، آن هم با جمله عمومی بفرم $t_{n} =a n^{2} +bn+c$ می باشد. برای پیدا کردن رابطه ای جهت بدست آوردن مجموع $n$جمله اول این دنباله، ابتدا چند جمله اول از این دنباله را می نویسیم تا ببینیم می توان الگویی را بدست آورد:

$$ t_{1}=a+b+c$$

$$t_{2}=4a+2b+c$$

$$t_{3}=9a+3b+c$$ $$t_{4}=16a+4b+c$$

$$ \vdots $$

$$t_{n}=an^2 +bn+c$$

و مجموع $n$ جمله اول دنباله :

$$S_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+...+t_{n}$$

با کمی دقت(آشنایی با برخی از تساوی ها، که در پایان پاسخ به آنها اشاره شده)، می بینیم که برای محاسبه ی مجموع جملات دنباله، اگر قسمت هایی که عدد ثابت $a$ را دارند را با هم درنظر بگیریم و همچنین قسمت هایی را که عدد ثابت $b$ دارند را با هم درنظر بگیریم و در آخر قسمت هایی را که عدد ثابت $c$ دارند را نیز باهم درنظر بگیریم می توان به الگویی رسید، پس :

$$ S_{n}=(a+4a+9a+16a+...+an^2) +(b+2b+3b+4b+...+bn)+(c+c+c+...+c)$$

با فاکتورگیری از $a$ در پرانتز اول و فاکتور گیری از $b$ در پرانتز دوم و مشخص هست که در پرانتز سوم $n$ تا $c$ داریم، پس :

$$S_{n}=a(1^2 +2^2 + 3^2 +4^2 +...+n^2)+b(1+2+3+4+...+n)+n.c$$

حالا برای مجموع هایی که در پرانتز اول و دوم بوجود آمده می توان از عبارت های مساوی با آنها استفاده کرد، که به این تساوی ها در پایان اشاره می شود. پس مجموع $n$ جمله اول دنباله ای با جمله عمومی $t_{n} =a n^{2} +bn+c $ برابر است با : $$\ S_{n}=a(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})+b(\frac{n(n+1)}{2})+n.c$$

تساوی های استفاده شده در بالا:

$1^2 +2^2 +3^2 +...+n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$$و$$ $$1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

توسط
@m.t.riazi واقعا من از شما سپاسگزارم با تشکر

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...