به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
138 بازدید
در دبیرستان توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط fardinffa

سلام من دنبال جمله عمومی دنباله روبه‌رو می‌گردم: $1،3،6،8،11،13،16،...$ خودم هر چه سعی کردم جمله عمومی‌ای برای این دنباله نیافتم. دوستان و اساتید اگر جمله عمومی‌ای برای این دنباله یافتند به من اطلاع دهند. با تشکر.

توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
@Amin.sm دیدگاهی که در پرسش مشابه دیگری‌تان گذاشتم را نگاه کردید؟ https://math.irancircle.com/17740/#c17746 بدون هیچ فرض اضافه‌تری پرسش شما پاسخ یکتا ندارد! یا فرض‌های جاافتاده‌تان را بیفزائید یا اگر در تمرین درس خاصی این سوال را گرفته‌اید اشاره کنید که چه نوع دنباله‌ای از شما خواسته‌شده است که چند جملهٔ نخستش با این عددها یکسان باشد.

4 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
انتخاب شده
 
بهترین پاسخ

بینهایت دنباله می‌توان یافت که ۷ جملهٔ ابتدایشان یکسان باشند. برای نمونه در زیر یک کُد نوشته شده با نرم‌افزار Mathematica نوشته‌ایم که به ازای هر عدد دلخواهی که دوست دارید یک دنباله به شما می‌دهد که $a_i$ برای $i=1$ تا $i=7$ همان ۷ عددی که شما دادید را تولید می‌کند ولی برای هشتمین عدد، مقداری که در ابتدا انتخاب کردید را می‌دهد. چند تا عدد دلخواه وجود دارد؟ مسلما بیشتر از یک عدد در دنیا وجود دارد پس شما با دادن ۷ تا عدد و نگفتن هیچ شرط و فرض و توضیح بیشتری هرگز نمی‌توانید یک جواب یکتا پیدا کنید و انتظار خاصی از فردی که سوال را از ایشان می‌پرسید داشته‌باشید که با علم غیب ذهن شما را بخواند و دقیقا همان یک دنباله از بینهایت دنباله‌ای که شما در ذهن‌تان به عنوان پاسخ درست گرفته‌اید را بدهد.

interpolseq[x_] := (
  Return[Expand[InterpolatingPolynomial[{1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, x}, n]]]
  )

ایدهٔ این کد استفاده از چندجمله‌ای‌های درون‌یاب است که در همین سایت پست‌های زیادی پیرامونش وجود دارد و در درس آنالیز عددی ۱ دانشگاه نیز ندریس می‌شود. برای نمونه اگر عدد هشتم را ۱ انتخاب کنید، این برنامه به شما جملهٔ عمومیِ زیر را می‌دهد:

$$-\frac{7 n^7}{720}+\frac{53 n^6}{180}-\frac{1319 n^5}{360}+\frac{217 n^4}{9}-\frac{64663 n^3}{720}+\frac{33677 n^2}{180}-\frac{11761 n}{60}+79$$

اگر عدد هشتم را به آن ۱۰۰ بدهید، آنگاه جملهٔ عمومی زیر را به شما می‌دهد:

$$\frac{5 n^7}{504}-\frac{23 n^6}{90}+\frac{479 n^5}{180}-\frac{259 n^4}{18}+\frac{3107 n^3}{72}-\frac{6377 n^2}{90}+\frac{6371 n}{105}-20$$

خیلی راحت با جایگذاری می‌توانید ببینید که برای ۷ مقدارِ نخست‌شان همان عددهای $1, 3, 6, 8, 11, 13, 16$ را می‌دهند و عدد هشتمی برای دنبالهٔ نخست برابر با ۱ است در حالیکه برای دنبالهٔ دومی برابر با ۱۰۰ است. حتی بدون نیاز به این همه دردسر، شما می‌توانید دنباله‌هایی که ۷ مقدار نخستشان برابر با ۷ مقدار داده‌شده توسط شما است ولی از جملهٔ هشتم به بعد مقدارشان عددی ثابت است را در نظر بگیرید یعنی ضابطه‌شان اینگونه تعریف می‌شود:

$$a_n=\left\lbrace\begin{array}{ll} 1 & ;\;n=1\\ 3 & ;\;n=2\\ 6 & ;\;n=3\\ 8 & ;\;n=4\\ 11 & ;\;n=5\\ 13 & ;\;n=6\\ 16 & ;\;n=7\\ x & ;\;n\geq 8 \end{array}\right.$$

پس دنبالهٔ $\lbrace 1,3,6,8,11,13,16,1,1,1,1,\cdots,1,\cdots\rbrace$ هم یک پاسخ ممکن برای پرسش شما است! پس اگر کسی هم در یک امتحان، کتاب یا هر منبع دیگری چنین پرسشی ناقص بگذارد باید انتظار بینهایت جواب درست داشته باشد و هر جوابی که فقط در ۷ جملهٔ نخستش با عددهای داده‌شده‌اش برابر است را نمرهٔ کامل بدهد.

پرسش شما را به روش‌های زیر می‌توان کامل کرد.

۱. دنباله‌ای با کمک حداکثر دو دنبالهٔ حسابی بیابید که ۷ جملهٔ نخستش با ۷ عدد داده‌شده در بالا برابر باشد. آنگاه دنباله‌ای دوضابطه‌ای که برای اندیس‌های فرد اعضای دنبالهٔ حسابی با جملهٔ شروع ۱ و قدرنسبت ۵ را چیده است و برای اندیس‌های زوج اعضای دنبالهٔ حسابی با جملهٔ شروع ۳ و قدر نسبت ۵ را چیده‌است. ضابطه‌ای که آقای @fardinffa سعی دارند در پاسخ‌شان به شما بگویند. توجه کنید که باید حتما در متن تکمیل شده در این حالت تعداد دنباله‌های حسابی را حتما به ۲ تا محدود کنید و گرنه می‌توان از ۷ دنبالهٔ حسابی با جمله‌های شروع این هفت عدد و قدرنسبت‌های کاملا دلخواه استفاده کرد که دوباره به ما بینهایت جواب ممکن می‌دهند.

۲. ضابطه‌ای برای دنبالهٔ عددهایی که رقم یکان آنها عددهای ۱ و ۳ و ۶ و ۸ هستند و با تریتب بزرگتری چیده شده‌اند بدهید.

هر دو حالت ۱ و ۲ یک جواب یکتا و برابر دارند که همان دنباله‌ای است که دو ضابطهٔ آقای @good4us و @fardinffa هم آن را می‌دهد.

با آمیختن ایده‌های مربوط به جزء صحیح (برای نمونه تابع‌های دندان اره‌ای) و همان چندجمله‌ای درون‌یاب نیز می‌توان یک ضابطهٔ غیر چندشرطی نیز برای این دنباله که اکنون خودمان یکتایش کردیم (و گر نه به همان شکلی که شما در پرسش نوشته‌اید یکتا نیست) ارائه داد.ایده ساده‌است با یک جدول آن را نشان می‌دهم. باید به نحوی هر ۴ بار یک بار ۱۰ واحد اضافه کنیم و به نحوی چهار بار در میان یکان را بین عددهای ۱ و ۳ و ۶ و ۸ بچرخوانیم. برای دنبال‌کردن و کنترل اندیس‌ها از جزءصحیح و تفاضل با جزءصحیح استفاده می‌کنم و برای نسبت دادن عددهای ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ۱ و ۳ و ۶ و ۸ از چندجمله‌ای درون‌یاب درجهٔ ۳ استفاده می‌کنم (می‌توانید از هر دنباله‌ای که چهار جملهٔ ابتدایش ۱ و ۳ و ۶ و ۸ هست به جای این چندجمله‌ای درجه سه استفاده کنید).

$$ \begin{array}{l|lllllllll} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline [\frac{n-1}{4}] & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2\\ \hline x=n-4[\frac{n-1}{4}] & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ \hline y=-\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-\frac{19}{6}x+2 & 1 & 3 & 6 & 8 & 1 & 3 & 6 & 8 & 1\\ \hline 10[\frac{n-1}{4}]+y & 1 & 3 & 6 & 8 & 11 & 13 & 16 & 18 & 21 \end{array} $$

پس ضابطهٔ زیر نیز با دو ضابطه‌ای که دوستان دیگر ارائه کرده‌اند برابر است.

$$a_n=10[\frac{n-1}{4}]-\frac{1}{3}(n-4[\frac{n-1}{4}])^3+\frac{5}{2}(n-4[\frac{n-1}{4}])^2-\frac{19}{6}(n-4[\frac{n-1}{4}])+2$$

که کمی ساده‌تر شده‌اش می‌شود؛

$$a_n=-\frac{1}{3}(n-4[\frac{n-1}{4}])^3+\frac{5}{2}(n-4[\frac{n-1}{4}])^2-\frac{19}{6}n-\frac{8}{3}[\frac{n-1}{4}]+2$$
توسط
+2
@AmirHosein واقعا ممنون از وقتی که شما برای پاسخ دادن به سوال من صرف کردید.
فقط یک سوال:نرم‌افزاری وجود دارد که جمله عمومی هر دنباله‌ای که بهش می‌دهیم را بدست آورد؟
مثلاً همین نرم افزار Mathematica این کار را انجام می دهد؟
توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
+1
@Armin.sm اگر دنباله را به طور یکتا بیان کنید با نرم‌افزارهای زیادی می‌توانید برنامه‌نویسی کنید تا جمله‌عمومی‌اش را به شما بدهد. برای نمونه دستوری که با نرم‌افزار Mathematica نوشته‌ام فرض‌هایی بیشتر از فقط تعدادی جمله از دنباله را گرفته‌است. چیزی که این دستور انجام می‌دهد پاسخ پرسش زیر است:
«اگر فرض کنیم جملهٔ عمومیِ دنباله‌ای که ۸ جملهٔ نخستش به ترتیب عددهای $1,3,6,8,11,13,16,,x$ هستند به وسیلهٔ یک چندجمله‌ای از درجهٔ حداکثر ۷ داده‌شده‌باشد، آنگاه این چندجمله‌ای (یا همان جمله عمومی دنباله‌مان) را بیابید»، این پرسش یک پاسخ یکتا دارد که کُدِ نوشته‌شده آن را محاسبه می‌کند. ولی بدون محدود کردن به شرط چندجمله‌ای از درجهٔ تعداد جمله‌های داده‌شده منهای یک را اضافه نکنم این دستور به درد نمی‌خورد. برای نمونه ضابطه‌ای که آقای @good4us و @fardinffa یا ضابطه‌ای که در آخر پاسخم داده‌ام یک چندجمله‌ای درجهٔ ۷ نیستند و با این دستور محاسبه نمی‌شوند.
*نتیجه*: اگر فرض چندجمله‌ای از درجهٔ مناسب، یا فرض حسابی بودن، یا فرض هندسی بودن، یا فرض‌هایی که دنباله را یکتا کنند اضافه کنید، پاسخ‌تان بلی است، اگر نه آنگاه پاسخ‌تان خیر است. در حالتیکه پاسخ بلی است، نرم‌افزارهای زیادی هستند مانند Maple، Matlab، Mathematica، SageMath یا حتی می‌توانید با زبان برنامه‌نویسی هم کُد مناسب بنویسید که جمله‌عمومی را محاسبه کند مانند زبان‌های C++، Python، Julia. در کل یادگرفتن برنامه‌نویسی چه با زبان برنامه‌نویسی، چه با نرم‌افزار ریاضی کمک خیلی زیادی می‌کند.
توسط AmirHosein (10,298 امتیاز)
@Armin.sm می‌توانید به این صفحهٔ بلاگی که در این سایت نوشته‌ایم هم نگاه بیندازید:
https://math.irancircle.com/blog/207/
+3 امتیاز
توسط fardinffa (402 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک پاسخ دیگر را می‌توان با دسته‌بندی جملات زوج و فرد به دست آورد:

$$a_{n} =\begin{cases}5k-4 &;\; n= 2k-1 \\5k-2 & ;\;n= 2k \end{cases}$$
توسط good4us (3,241 امتیاز)
+1
@fardinffa فکرکنم اندیس شما هم x باشه
و به هر حال شما چگونه با این ضوابط جملات را به وجود می آورید؟
توسط fardinffa (402 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardinffa
@AmirHosein بله درسته اصلاح کردم
توسط fardinffa (402 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardinffa
+1
@good4us  AmirHosein @ دنباله اعداد رو دوبخش در نظر میگیریم : یکی جملات فرد دنباله اولیه و دیگری جملات زوج دنباله اولیه و هر کدام به یک دنباله حسابی با قدر نسبت 5 تبدیل می شوند. حال برای مثال جمله 7 ام دنباله اولیه چون چهارمین جمله فرد دنباله است از ضابطه اول استفاده کرده و به ازای x=4 قرار میدیم
توسط good4us (3,241 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us
@fardinffa  فکرکنم نظر شما اعمال شد وتصحیح شد
توسط fardinffa (402 امتیاز)
+1
@AmirHosein بله ممنون که وقت گذاشتید اصلاح شد.
+2 امتیاز
توسط good4us (3,241 امتیاز)

یک پاسخ به صورت دنباله بازگشتی:$ k \in N$

$ a_{1}=1 $ و

$ a_{n}=\begin{cases} a_{n-1}+2 & n= 2k\\a_{n-1}+3 & n=2k+1\end{cases} $
توسط
–1
@good4us جالبه ولی یک جمله عمومی تک ضابطه‌ای برای این دنباله وجود نداره؟
+1 امتیاز
توسط

به نام خدا

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

شما می‌توانید جملۀ عمومی این دنبالۀ را با استفاده از تابع FindSequenceFunction در نرم افزار Mathematica بدست آورید،این تابع کاربردی جملۀ عمومی دنبالۀ مورد نظرمان را محاسبه می‌کند.با وارد کردن دنبالۀ $ 1,3,6,8,11,13,16,... $ نرم افزار به شما جملۀ عمومی زیر را می‌دهد:

$ \frac{1}{4} (-1)^n (-1 - 7 (-1)^n + 10 (-1)^n n) $

می‌توانید با استفاده از همین تابع جملۀ عمومی دنبالۀ های دیگری را هم بدست آورید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...