به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
53 بازدید
در دانشگاه توسط masiha1412 (81 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

فرض کنید تابع $f$ روی بازهٔ $[0,1]$ پیوسته و روی بازهٔ $(0,1)$ مشتق‌پذیر باشد، آیا می‌توان ثابت کرد که عددی مانند $0< \alpha < 1$ وجود دارد به گونه‌ای که:

$$\alpha^2f'(x)+2\alpha f(x)=f(1)$$
توسط erfanm (12,614 امتیاز)
+2
مطمئن هستید که سوال رو درست تایپ کردید؟
برای تابع
f(x)=x برقرار نیست. چون مشتق و مقدار تابع در ۱ ثابت هستند.
توسط masiha1412 (81 امتیاز)
–2
بله سوال رو درست تایپ کردم.. میشه بیشتر توضیح بدین که چرا اشتباهه
توسط mdgi (824 امتیاز)
@masiha1412

سوالتان اشتباه است.
توسط AmirHosein (9,971 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@masiha1412 آقای @erfanm درست می‌گویند، تنها تابعی که در شرایط شما صدق می‌کند تابع آمده در پاسخ زیر است که مسلما مساوی با هر تابع مشتق‌پذیری نیست!

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (9,971 امتیاز)
انتخاب شده توسط masiha1412
 
بهترین پاسخ

در درس معادلات‌دیفرانسیل ساده‌ترین خانوادهٔ دستگاه‌هایی که یاد می‌گرفتیم حل کنیم به شکل $y'+ay=b$ بودند که $y$ تابعی از یک متغیر مانند $x$ است و $a$ و $b$ عبارت‌هایی مستقل از $y$ (می‌توانند $x$ داشته‌باشند یا خیلی ساده فقط یک عدد باشند). اگر درس معادلات‌دیفرانسیل را نگذرانده‌اید می‌توانید به هر منبع مقدماتی‌ای از این درس نگاه بیندازید. کتاب‌های زیاد و ساده‌ای در این موضوع وجود دارند. در پرسش شما نیز چنین برابریِ دیفرانسیلی‌ای داریم. $f(x)$ را با $y$ نمایش دهید و توجه کنید که $f(1)$ یک عدد ثابت است پس آن را موقتا با $\beta$ نمایش می‌دهم. پس برابری‌مان (معادله‌مان) به شکل زیر است که دارای شرط اولیه نیز است (اینکه مقدار تابع در یک نقطه قرار است معین باشد).

$$y'+\frac{2}{\alpha}y=\frac{\beta}{\alpha^2},\quad y(1)=\beta$$

در بالا فقط طرفین را بر $\alpha^2$ تقسیم کرده‌ایم که شرط $\alpha\neq 0$ را نیاز دارد. اگر $\alpha=0$ باشد که آنگاه برابری‌تان به شکل زیر می‌شود.

$$0=f(1)$$

پس برای تابع‌هایی که در نقطهٔ $x=1$ مقدار صفر می‌گیرند به طور بدیهی می‌توانید با انتخاب $\alpha=0$ رابطه‌تان را برقرار سازید که ارزش خاصی ندارد چون چیز جدیدی برای استفاده نمی‌دهد و به کمکش چیزی غیر از $f(1)=0$ نمی‌توانید محاسبه کنید. پس برگردیم به حالت قبل.

اگر در معادله‌دیفرانسیل کلی که در ابتدای متن اشاره کردیم داشته‌باشیم $b=0$ آنگاه می‌گوئیم معادله‌دیفرانسیل‌مان همگن است. برای حل یک دستگاه ناهمگن ابتدا همگنِ آن را حل می‌کنیم.

$$\begin{array}{ll} y'+\frac{2}{\alpha}y=0 & \Longrightarrow y;=-\frac{2}{\alpha}y\\ & \Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{2}{\alpha}y\\ & \Longrightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{2}{\alpha}dx\\ & \Longrightarrow \ln(y)=-\frac{2}{\alpha}x+c_1\\ & \Longrightarrow y=e^{c_1}e^{-\frac{2}{\alpha}}\\ & \Longrightarrow y=ce^{-\frac{2}{\alpha}} \end{array}$$

که $c_1$ یک عدد ثابت است. فرقی ندارد که برای عدد ثابتی $e^{c_1}$ را استفاده کنیم یا از اول یک عدد ثابت $c$ استفاده کنیم. پس پاسخ عمومی‌مان به شکل زیر می‌شود.

$$y_h=ce^{-\frac{2}{\alpha}}$$

زیراندیس h ابتدای واژهٔ انگلیسی homogeneous به معنای همگن است (از دبستان آمیخته‌های (مخلوط‌های) همگن و ناهمگن را به یاد آورید). اکنون باید یک پاسخ ویژه (خصوصی) نیز بیابیم. اگر حدس مناسبی دارید می‌توانید آن را بیازمائید و اگر در برابری صدق کرد آنگاه به عنوان پاسخ ویژه بردارید. راه دیگر به کار بردن ایدهٔ زیر برای پیدا کردن یک پاسخ ویژه است. به جای $c$ تابعی بر حسب $x$ بگذارید، $c(x)$ آنگاه پاسخ عمومی به همراه این $c(x)$ را در برابری جایگذاری کنید و تلاش کنید تا $c(x)$ را بیابید.

$$\begin{array}{l} y_p=c(x)e^{-\frac{2}{\alpha}x}\\ \begin{array}{ll} y'+\frac{2}{\alpha}y=\frac{\beta}{\alpha^2} & \Longrightarrow c'(x)e^{-\frac{2}{\alpha}x}-\frac{2}{\alpha}c(x)e^{-\frac{2}{\alpha}x}+\frac{2}{\alpha}c(x)e^{-\frac{2}{\alpha}x}=\frac{\beta}{\alpha^2}\\ & \Longrightarrow c'(x)e^{-\frac{2}{\alpha}x}=\frac{\beta}{\alpha^2}\\ & \Longrightarrow c'(x)=\frac{\beta}{\alpha^2}e^{\frac{2}{\alpha}x}\\ & \Longrightarrow c(x)=\frac{2\beta}{\alpha}e^{\frac{2}{\alpha}x} \end{array}\\ \Longrightarrow y_p=\frac{2\beta}{\alpha}e^{\frac{2}{\alpha}x}e^{-\frac{2}{\alpha}x}\\ \Longrightarrow y_p=\frac{2\beta}{\alpha} \end{array}$$

توجه کنید که در این گام زمانی که پادمشتق می‌گرفتیم دیگر ثابت اضافه نکردیم، دلیل این است که دنبال یک پاسخ ویژه (خاص) هستیم، یک تابع برایمان کافی است. اکنون پاسخ کلی برابر با جمع پاسخ عمومی با پاسخ ویژه است. زیراندیس p در $y_p$ ابتدای واژهٔ انگلیسی particular به معنای ویژه است. برای پاسخ کلی از زیراندیس t که ابتدای واژهٔ انگلیسی total به معنای کل (همه‌چیز با هم) استفاده می‌کنیم.

$$y_t=y_h+y_p=ce^{-\frac{2}{\alpha}x}+\frac{\beta}{2\alpha}$$

هر پاسخ از برابری‌مان (پیش از اثر دادن شرط اولیه - شرط مرزی) به شکل بالا برای یک مقدار $c$ نوشته می‌شود. اکنون شرط اولیه‌مان را اثر می‌دهیم.

$$\begin{array}{ll} y(1)=\beta & \Longrightarrow ce^{-\frac{2}{\alpha}}+\frac{\beta}{2\alpha}=\beta\\ & \Longrightarrow c=(\beta-\frac{\beta}{2\alpha})e^{\frac{2}{\alpha}} \end{array}$$

پس با فرض ثابت گرفتن مقدار $\beta$ و $\alpha$ تنها یک پاسخ در برابری‌دیفرانسیل ما با شرط مرزی داده‌شده صدق می‌کند.

$$y=(\beta-\frac{\beta}{2\alpha})e^{\frac{2}{\alpha}}e^{-\frac{2}{\alpha}x}+\frac{\beta}{2\alpha}$$

اکنون بازنویسی کنیم به شکل اولیه. اگر تابع $f$ شما بخواهد در شکل حکم شما صدق کند باید $\alpha$ای یافت شود که

$$f(x)=f(1)(1-\frac{1}{2\alpha})e^{\frac{2}{\alpha}(-x+1)}+\frac{f(1)}{2\alpha}$$

برای اینکه حکم شما برقرار شود باید هر تابعی که بر بازهٔ $[0,1]$ مشتق‌پذیر است را بتوان به شکل بالا نوشت. ولی خیلی بدیهی است که نمی‌شود، برای نمونه تابع‌های ثابت، تابع $\sin(x)$ و غیره.

بوسیلهٔ نرم‌افزارها نیز می‌توانید برابری‌دیفرانسیل‌ها را حل کنید. برای نمونه با نرم‌افزار Mathematica دستور زیر برابری‌دیفرانسیل شما را حل می‌کند.

DSolve[{(\[Alpha]^2)*f'[x]+2*\[Alpha]*f[x]==\[Beta],f[1]==\[Beta]},f[x],x]

برای نوشتن حرف‌های یونانیِ آلفا و بتا در نرم‌افزار متمتیکا می‌توانید به جای تایپ \[Alpha] و \[Beta] می‌توانید دکمهٔ Esc از روی صفحه‌کلید را فشار دهید سپس حرف کوچک a را بزنید و دوباره کلید Esc از صفحه‌کلید را بزنید آنگاه متمتیکا خودکار حرف یونانی آلفا را می‌گذارد، برای بتا به جای a از b استفاده کنید. حاصل این محاسبه در محیط نرم‌افزار Mathematica در زیر آورده شده‌است.

توضیحات تصویر

در آخر توجه کنید که شاید اشتباه تایپی یا منفی مثبت گذاری در عبارت‌های ریاضی‌ای که در اینچا نوشته‌ام باشد. خودتان می‌توانید مراحل را برای خودتان انجام دهید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...