به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
256 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

سلام خدا قوت لطف می کنید نمودار تابع $y=\cos^2x-\cos x$ را در بازه بسته $[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]$ رسم کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

دامنه ی تابع در حالت کلی $\mathbb R$ است ولی آن را محدود کرده و در $[\frac{\pi}2,\frac{5\pi}2]$ در نظر گرفته است.

برای پیدا کردن محل برخورد با محور $y$ ها باید قرار دهیم $x=0$ ولی چون صفر عضوی از دامنه نیست پس نیازی به این کار نیست.

برای پیدا کردن محل برخورد با محور $x$ ها باید معادله ی $\cos^2 x-\cos x=0$ حل شود که داریم:

$$\begin{cases}\cos x=0\Rightarrow x= \frac\pi2, \frac{3\pi}2, 2\pi+\frac\pi2\\ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi\end{cases}$$

اگر از آن مشتق بگیریم داریم: $y'=-2\sin x\cos x+\sin x=0$ داریم $\sin x=0$ یا $\cos x=\frac 12$ و در بازه ی مذکور جواب این معادلات به ترتیب برابر $$ \begin{cases}\sin x=0\Rightarrow x=\pi, 2\pi \\ \cos x=\frac12 \Rightarrow x=2\pi\pm \frac\pi3 \end{cases} $$

در اینصورت با جاگذاری موارد بالا در جدول داریم:

$$\begin{array}{c|lcccccccr} x&\frac\pi2 & &\pi& &2\pi-\frac\pi3& &2\pi& &2\pi+\frac\pi3& &\frac{5\pi}2\\ \hline sinx& &+& 0&-&-& -&0&+&+&+&\\ \hline 1-\\ 2cosx&&+&+&+&0&-&-&-&0&+\\ \hline y'& &+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline y&0&\nearrow&2&\searrow &-\frac12 &\nearrow&-\frac12 &\searrow&0&\nearrow&0\end{array}$$

چون در سمت چپ و راست نقطه ی $\pi$ به صورت $ \nearrow \searrow $ است لذا این نقطه ماکسیمم نسبی است و به همین ترتیب نقطه ی $2\pi-\frac\pi3$ مینیمم نسبی و $2\pi$ ماکسیمم نسبی و $2\pi+\frac\pi3$ مینیمم نسبی است. با یافتن نقاط بالا داریم:

enter image description here

رسم شکل در wolframalpha و fooplot

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...