به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
44 بازدید
در دانشگاه توسط nkar (20 امتیاز)

ثابت کنید تابع (f(x)=sin( x^2 روی فضای اقلیدسی R پیوسته یکنواخت نیست.

منبع:فضاهای متریک با طعم توپولوژی-تمرین های فصل 3-سوال 28

توسط fahime (136 امتیاز)
+1
@nkar به پست های مربوطه برای آموزش نحوه تایپ ریاضی مراجعه کنید.
توسط nkar (20 امتیاز)
@fahime
باشه حتما.ممنون.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mdgi (824 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط mdgi

تابع $f$ پیوسته یکنواخت است اگر وتنها اگر $$ \ \ \forall \epsilon >0 \ \ \ \exists \delta>0\ \ \text{such that} \ \forall x,y\ \ \ \ |x-y|< \delta \Rightarrow \ \ |f(x)-f(y)|< \epsilon $$ بنابراین طبق تعریف فوق نتیجه میشود که یک تابع مانند $f(x)=\sin (x^2)$ پیوسته یکنواخت نیست اگروتنهااگر $$\exists \epsilon_0>0\ \ \text{such that}\ \ \forall n\in \mathbb{N},\ \exists x_n,y_n, |x_n-y_n|< \frac{1}{n},|\sin(x^2_n)-\sin(y^2_n)|\geq \epsilon_0 $$

اما داریم: $$\sin(x^2)-\sin(y^2)=2\sin\frac{x^2-y^2}{2}\cos\frac{x^2+y^2}{2} $$ حال اگر $\epsilon_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $x_n=\sqrt{4n^2\pi +\frac{\pi}{4} } $ و $y_n=2n\sqrt{\pi}$ آنگاه $|x_n-y_n|< \frac{1}{n}$ و $$|\sin(x_n^2)-\sin(y_n^2)|=2|\sin\frac{x_n^2-y_n^2}{2}||\cos\frac{x_n^2+y_n^2}{2}|=2|\sin\frac{\pi}{8}||\cos(\frac{\pi}{8})|=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

قبل توسط nkar (20 امتیاز)
@mdgi
ممنون.فقط توان sin و cos را فکر میکنم باید ویرایش کنید در خط چهارم.
قبل توسط mdgi (824 امتیاز)
ممنون. درستش کردم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...