به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
34 بازدید
در دانشگاه توسط nkar (20 امتیاز)

-ثابت کنید در فضای اقلیدسی R تابع f(x)=1/(1+(x^2)) روی کل R پیوسته یکنواخت است منبع:فضاهای متریک با طعم توپولوزی-فصل سوم-تمرین 29

توسط mdgi (824 امتیاز)
+1
عبارات ریاضی را بین دو علامت دلار قرار دهید تا درست نمایش داده شوند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdgi (824 امتیاز)

تابع $f$ پیوسته یکنواخت است اگر وتنها اگر $$ \forall \epsilon >0,\ \ \ \exists \delta>0\ \ \ \text{such that}\ \ \ \forall x,y\ \ |x-y|< \delta \ \ \Rightarrow\ \ |f(x)-f(y)|< \epsilon $$ که برای $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ به صورت زیر میشود: $$ \ \ \forall \epsilon >0,\ \ \ \ \exists \delta>0\ \ \ \text{such that}\ \ \ \forall x,y\ \ |x-y|< \delta \ \Rightarrow \ \ \ |\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}|< \epsilon $$ اما داریم: $$\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)}= \frac{(y-x)(y+x)}{(1+x^2)(1+y^2)}$$ حال داریم $$|y+x|\leq |x|+|y|\leq (1+x^2)(1+y^2) $$

بنابراین کافیست $\delta $ را مساوی$\epsilon $ بگیریم. دراین صورت $$|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}|= |\frac{(y-x)(y+x)}{(1+x^2)(1+y^2)} |\leq \epsilon $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...