به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
46 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

سلام به همهٔ دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

پرسشی ذهنم را مدت ها درگیر کرده است:

آیا عدد $0.100100010000...$ عددی گنگ است؟ همه‌ی ما می‌دانیم که اعداد گنگ اعدادی هستند که شکل اعشاری آنها الگوی مشخصی ندارد و تا ابد ادامه می‌یابد و نمی‌توان آن را به صورت یک کسر نوشت ولی اعداد گویا اعدادی هستند که شکل اعشاری آنها دارای الگوی مشخصی است و یا دارای دوره تناوب است پس آیا می‌توان که عدد $0.100100010000...$ عددی گویا است؟ چون دارای الگوی مشخصی است.اگر هم واقعا عددی گویاست کسر آن را بنویسید. با تشکر.

توسط AmirHosein (10,333 امتیاز)
+1
@m.snb کجا خوانده‌اید که الگوداشتن نمایش اعشاری «گویا» بودن و الگونداشتن «گنگ» بودن را می‌دهد؟ گزاره‌ای که باید دیده‌باشید می‌گوید «نمایش اعشاری یک عدد گویا یا متناهی رقم پس از اعشار دارد یا پس از تعداد متناهی رقمِ بعد از اعشار شروع به تناوب با دورهٔ متناهی کند» حرفی از الگو یعنی الگوی کلی نمی‌زند. عددهایی هستند که نمایش اعشاری‌شان الگودار است که نه تنها گویا نیستند بلکه جبری نیز نیستند و متعالی می‌شوند!

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (10,333 امتیاز)

یک کتاب خوب در مورد عددهای گنگ و متعالی کتاب «Irrationality and Transcendence» نوشتهٔ «David Angell» است که اطلاع ندارم آیا به صورت رسمی آن را چاپ کرده‌است یا خیر ولی ۳-۴ سال پیش به صورت رایگان نسخهٔ ps کتابشان ویرایش سال ۲۰۰۷ را در دسترس عموم گذاشته‌بودند.

قضیهٔ صفحهٔ ۶ می‌گوید:

یک عدد حقیقی $\alpha$ گویا است اگر و تنها اگر بسط اعشاریِ آن نهایتاً دوره‌ای (متناوب) گردد».

و در خطِ زیرِ صورت قضیه می‌نویسد:

تذکر: بسطِ نهایتاً دوره‌ای شاملِ بسطِ متناهی، برای نمونه $0.123=0.123000...=0.122999...$ نیز می‌شود.

می‌بینید که عددهای دارای تعداد متناهی رقم پس از اعشار دو نوع نمایش اعشاری دوره‌ای نیز هستند یعنی می‌توانید از جایی که تمام شده همینطور صفر تکرار کنید (یک دوره با طول دورهٔ ۱) یا از رقم آخر یک واحد کم کنید و سپس همینطور ۹ اضافه کنید (که باز هم یک دوره با طول دورهٔ ۱ دارید). نهایتاً دوره‌ای نیز یعنی الزامی ندارد مانند حاصلِ یک‌سوم از همان ابتدا دوره شروع شود، ممکن است متناهی عدد که قرار نیست بعدا تکرار شوند وجود داشته‌باشند و پس از آن یک دوره که تکرار شود داشته باشید مانند $0.95\overline{12}$ یعنی ابتدا ۹۵ آمده‌است و بعد از آن همینطور ۱۲، ۱۲ تکرار شود.

پس برای تشخیص دادن گنگ و گویا بودن از روی بسط اعشاری باید به نهایتا دوره‌ای بودن یا نبودن توجه کنید نه الگو داشتن یا نداشتن. عددی که شما نوشتید که توان‌های ۱۰ به ترتیب نوشته شوند یک الگو می‌تواند نامیده شود ولی نهایتا دوره‌ای نیست چون نمی‌توانید پس از متناهی رقم، تعداد متناهی رقم بیابید که دوره‌وار تکرار شوند. اگر دوره داشته باشید پس باید از بعد از شروع دوره دست روی هر عددی که می‌گذارید، به تعداد طول دوره بعد از آن برابر با همان عدد شود. در حالی که فاصلهٔ ۱ها در نمایش شما همواره در حال افزایش است پس برای دوره‌ای کردنش باید طول دوره را همینطور افزایش دهید بدون توقف که در نتیجه عدد متناهی‌ای یافت نمی‌شود که طول دوره باشد (فاصلهٔ ۱ها از هر عدد طبیعی‌ای در حال بزرگتر شدن است) پس تناقض و در نتیجه یک نمایش نهایتا دوره‌ای نیست. پس عددتان گنگ است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...