به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
67 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

معادلهٔ زیر چگونه حل می‌شود:

$ x^{2} = 2^{x} $

با رسم نمودار معادله می‌توان فهمید که این معادلهٔ دقیقاً سه ریشه دارد.

ولی من می‌خواهم آن را به روش جبری حل کنم.خودم برای حلش تلاش کردم ولی به نتیجه‌ای نرسیدم.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط mdgi (1,232 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdgi
 
بهترین پاسخ

اگر $f(x)=2^x-x^2$، آنگاه $$f'(x)=(\ln 2)2^x-2x \ .$$ وداریم $$f''(x)=(\ln2)^22^x-2$$ حال نکته زیر را داریم:

اگر تابعی مشتق پذیر باشد و مشتق آن، $n$ تا ریشه داشته باشد، خود آن تابع حداکثر $n+1$ ریشه دارد.

باتوجه به اینکه تابع $f''$ دقیقا یک ریشه دارد پس $f'$ حداکثر دوریشه و بنابراین $f$ حداکثر سه ریشه دارد. میتوان با کمک قضیه مقدار بینی نتیجه گرفت $f$ دقیقا سه ریشه دارد. در واقع $$f(0)>0,\ \ \ \ f(-10)< 0$$ پس طبق قضیه مقدار بینی، تابع $f$ در بازه $[-10,0]$ دارای ریشه است. از طرفی دوریشه دیگر هم میتوان حدس زد: $2,4$. (البته اگر نتوانستیم حدس بزنیم، وجود این دوریشه را هم باکمک همان قضیه مقدار بینی میتوان نشان داد). اما برای برای بدست آوردن ریشه ای که بین منفی یک وصفر است باید از روشهای تقریب استفاده کرد. مثلا روش نیوتون یا روشهایی که در آنالیز عددی است. (البته با متلب هم میشود)

توسط good4us (3,292 امتیاز)
+1
@ mdgi پس ریشه 4 چه می شود؟ضمنأتابع مشتق شمادو ریشه دارد
توسط AmirHosein (10,683 امتیاز)
@mdgi بعلاوه بر نکته‌ای که آقای @good4us گفتند، خود حل کردن $f'=0$ را نیز باید توضیح بدهید، اگر با رسم شکل آن را انجام می‌دهید که از اول می‌توانستید با رسم شکل برای $f=0$ نیز انجام بدهید و نیاز به مشتق گرفتن نمی‌بود.
توسط mdgi (1,232 امتیاز)
جواب اصلاح شد باتشکر
توسط good4us (3,292 امتیاز)
+1
@mdgiانتخاب شما به جای 10- می تواند 1- باشد

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...