به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
141 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط erfanm

می‌دانیم:

$$ \sum_{i=1}^n i= \frac{n(n+1)}{2} $$

همانند مثال بالا فرم بسته‌ی جمع زیر را بدست بیاورید:

$$ \sum_{i=1}^n i ^{4} =?$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید. شما کافیه فقط روی "ریاضی" کلیک کنید بعد بنویسید. لطفا سوالتونو ویرایش کنید.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

جواب خیلی سر راست است فقط نوشتنش طول میکشه. برای این کار لازمه که شما فرمول های $\sum_i^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ و $\sum_1^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{2^2}$ را بلد باشید.

می توانید برای اثبات هر کدام از موارد بالا از اتحاد های $(k+1)^2-k^2=2k+1$ و $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ استفاده کنید.

برای اثبات مساله شما از اتحاد $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$ در اینصورت داریم:

$$k=1\quad 2^5-1^5=5(1)^4+10(1)^3+10(1)^2+5(1)+1\\ k=2\quad 3^5-2^5=5(2)^4+10(2)^3+10(2)^2+5(2)+1\\ k=3\quad 4^5-3^5=5(3)^4+10(3)^3+10(3)^2+5(3)+1\\ .\\ .\\ .\\ k=(n-1)\quad n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1\\ k=n\quad (n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1\\ $$

اگر طرفین اتحاد های بالا را با هم جمع کنیم داریم:

$(n+1)^5-1^5=5\sum_1^n i^4+10\sum_1^n i^3+10\sum_1^n i^2+5\sum_1^n i+n$

حال چنانچه معادل عبارتهای $\sum_1^n i,\sum_1^n i^2,\sum_1^n i^3$ را قرار دهید و ساده کنید باید به عبارت زیر برسید:

$$\sum_1^n i^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$
دارای دیدگاه توسط salahsharifi
ویرایش شده توسط fardina
+2
جواب سوال میشه:
$\frac{n(1+n)(1+2n)(-1+3n^n+3n^2)}{30}$
دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
@salahsharifi
ممنون برای ارسال دیدگاه.
لطفا فارسی بنویسید چون در غیر اینصورت حذف میشه. اگه با تایپ ریاضی آشنایی ندارید در داخل ویرایشگر بنویسید بعد داخل دیدگاه کپی کنید.
بله کاملا درست میگید چون $(1+2n)(-1+3n+3n^2)=(6n^3+9n^2+n-1)$ .
یعنی هردومون درست میگیم شاید فرمول شما راحت تر هم به ذهن سپرده بشه.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...