به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
115 بازدید
در دبیرستان توسط Ali mori (63 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

پرسش زیر را در نظر بگیرید.

حد کسر $\frac{\sqrt[3]{x-1}-x^2-1}{\sqrt[3]{x^2-1}+x^2-1}$ زمانیکه $x\to 1$، برابر کدام گزینه است؟

  1. 1
  2. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  3. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
  4. $\infty$

در صورت کسر اگر $\sqrt[3]{x-1}$ را هم‌ارز با کل صورت قرار دهیم و $\sqrt[3]{x^2-1}$ را هم هم ارز با کل مخرج قرار دهیم جواب صحیح بدست می‌آید. اما این هم‌ارزی از قوانین هم‌ارزی پیروی نمی‌کند. آیا این هم‌ارزی نوعی دیگری از قاعدهٔ کم‌توان است؟

توسط Ali mori (63 امتیاز)
@amirhoseinاز همان جواب نیز درست بدست می آید اما راه طولانی است
توسط AmirHosein (11,145 امتیاز)
+1
@Ali_Mori
- اگر محاسبه‌ای به جواب یکسان برسد دلیل بر بامعنابودنش نیست. خیلی ساده «فردی دو کتاب دارد، یک کتاب دیگر می‌خرد. اکنون چند کتاب دارد؟» یک محاسبه «تعداد کتاب‌های اولیه را به توان دو می‌رسانیم سپس منهای تعداد کتاب‌های جدید می‌کنیم $2^2-1=3$» اینکه پاسخ آخر صحیح شده‌است هیچ دلیلی بر معقول بودن یا درست بودن خود مسیرِ حل نمی‌شود. هم‌ارزی نیز تعریف دارد و می‌توانید چک کنید که چیزی که می‌گوئید آیا واقعا در تعریف هم‌ارزی صدق می‌کند یا خیر.
- کجای روشی که @mdgi گفته‌اند طولانی است؟ چه از نظر نوشتن و چه از نظر ذهنی انجام دادن نه حجم زیادی می‌برد نه زمان زیادی.
توسط sMs (651 امتیاز)
ویرایش شده توسط sMs
اگر $\sqrt[3]{x-1}$ را هم ارز کل صورت قرار دهیم و $\sqrt[3]{x^2-1}$ را هم هم ارز کل مخرج قرار دهیم، دوباره پس از جایگذاری با ابهام $\frac00 $ رو به رو هستیم و جواب صحیح به دست نمی‌آید لذا یک مرحله‌ی دیگر لازم است تا جواب صحیح به دست آید:
$$lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\frac00 $$
باید دوباره از $\sqrt[3]{x-1}$ در صورت و مخرج فاکتور بگیریم و ساده کنیم و بعد دوباره جایگذاری کنیم تا جواب درست به دست آید. لطفا متن پرسش را ویرایش کنید. در ضمن، زمانی که برای کسر lim گذاشته‌اید باید بنویسد حاصل عبارت روبه رو را بیابید و وقتی کسر را تنها بنویسید و بعد lim را آن وقت است که باید گفت حاصل عبارت فوق را وقتی x میل کند به فلان بنویسید. عنوان سوال را مبهم ویرایش کرده‌اید. امیدوارم منظورم را رسانده باشم
@AmirHosein
توسط sMs (651 امتیاز)
+1
دقیقا منظورم همین است! ممنون که عکس را فرستادید. تفاوت صورت سوال را در عکس و در اینجا(که شما ویرایش کرده‌اید) ببینید. شما برای خود کسر هم lim گذاشته‌اید در صورتی که نیاز به این کار نبود. درست مثل تصویری که فرستادید.@AmirHosein
توسط AmirHosein (11,145 امتیاز)
+1
@SinaMoradi اعمال شد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
قبل توسط AmirHosein (11,145 امتیاز)

اگر علامت‌های مثبت و منفی را در صورت کسر درست نوشته باشید در این صورت اصلا با یک حد ابهام‌دار روبرو نیستید. چون صورت کسی به $-2$ میل می‌کند و مخرج به صفر پس اگر $x$ از بالا به ۱ میل کند، خود کسر به $-\infty$ واگرا و از پائین به ۱ میل کند، خود کسر به $+\infty$ واگرا خواهد شد که در هر صورت واگرایی حد را دارید که احتمالا منظور از گزینهٔ آخر نیز چنین چیزی بوده‌است. اما اگر اشتباه نوشتاری داشته‌اید و آخر صورت کسر بعلاوه یک به جای منهای یک بوده‌باشد آنگاه صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{(x-1)^2}$ ضرب کنید. کسرتان برابر می‌شود با

$$\frac{(x-1)-(x^2-1)\sqrt[3]{(x-1)^2}}{(x-1)\sqrt[3]{x+1}+(x^2-1)\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$

اکنون یک $x-1$ از صورت و مخرج ساده کنید.

$$\frac{1-(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt[3]{x+1}+(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$

و در نهایت با جایگذاری $x=1$ دارید؛ $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ یعنی گزینهٔ سوم. اگر هم دوست دارید با نرم‌افزار Mathematica بیازمائید، دستورهای حد هر دو حالت در زیر آورده‌شده‌اند.

Limit[(Surd[x-1,3]-x^2-1)/(Surd[x^2-1,3]+x^2-1),x->1]
Limit[(Surd[x-1,3]+x^2-1)/(Surd[x^2-1,3]+x^2-1),x->1]

که پاسخ‌های نرم‌افزار در زیر آورده شده‌اند.

توضیحات تصویر


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...