یک نقطه از $E$ تنها گفته می‌شد اگر یک همسایگی از آن یافت شود که هیچ عضو دیگری از $E$ را در برنداشته‌باشد. یک نقطهٔ حدی $E$ نمی‌تواند نقطهٔ تنهایش باشد چون یک نقطهٔ حدی هر همسایگی دلخواهش دست‌کم یک عضو دیگر از $E$ را در بر دارد. پس هیج همسایگی‌ای از آن نمی‌توانید پیدا کنید که فقط آن را از $E$ داشته‌باشد. توجه نیز داشته‌باشید که برخی نقطه‌های حدی اصلا ممکن است عضو $E$ نباشند و از همان اول شرط نقطهٔ تنها بودن $E$ را ندارند، به هر حال چه عضو $E$ باشند چه نباشند بنا به مطلبی که گفتیم نقطهٔ تنهای $E$ نمی‌شوند. تعریف بستار را به یاد آورید. $\bar{E}=E\cup E'$. نقطه‌هایی که عضو $E'$ هستند نه تنها نقطهٔ حدی از $E$ هستند بلکه نقطهٔ حدی از $\bar{E}$ نیز هستند (دلیلش بدیهی است چون همسایگی‌هایشان عضو دیگری از $E$ که زیرمجموعهٔ $\bar{E}$ است را دارند). پس هیچ نقطه‌ای از $E'$ نمی‌تواند نقطهٔ تنهای $\bar{E}$ هم بشود. پس اگر $\bar{E}$ نقطهٔ تنهایی داشته باشد آن نقطه باید عضو $E$ باشد. به خاطر تعریف نقطهٔ تنها این نقطه باید همسایگی‌ای داشته‌باشد که $\bar{E}$ را در نقطهٔ دیگری قطع نکند پس به طبع $E$ که زیرمجموعهٔ آن است را نیز در نقطهٔ دیگری قطع نمی‌کند. تا اینجا ثابت شد که مجموعهٔ نقطه‌های حدی $\bar{E}$ زیرمجموعهٔ نقطه‌های حدی $E$ است. اکنون برعکس آن را ثابت کنیم. اگر نقطه‌ای تنهای $E$ باشد پس عضو $E$ و به طبع عضو $\bar{E}$ نیز است. بنا به تعریف تنهایی از $E$ پس همسایگی‌ای از آن مثلا به شعاع $r$ هست که هیچ عضوی از $E$ را غیر از خودش در بر ندارد. کافیست ثابت کنیم که این همسایگی هیچ عضوی از $E'$ را نیز ندارد تا ثابت شود که هیچ عضو دیگری از $\bar{E}=E\cup E'$ را ندارد.
بیایید فرض خلف کنیم. نقطهٔ مورد بحث را $x$ بنامید. اگر به فرض خلف نقطهٔ حدی‌ای مانند $y$ موجود باشد که عضو $B(x,r)$ باشد آنگاه فاصلهٔ $x$ و $y$ از هم یعنی $d(x,y)$ را $s$ بنامید. قرار دهید $r_0=\min(s,r-s)$ (توجه کنید که چون $y$ داخل $B(x,r)$ است پس $s< r$). اکنون از حدی بودن $y$ برای $E$ استفاده کنید، همسایگی به مرکز $y$ و شعاع $r_0$ باید یک عضو از $E$ غیر از $y$ را در بر داشته‌باشد. یک چنین عضوی را $x_0$ بنامید. چون $x_0\in B(y,r_0)$ پس $d(x_0,y)< r_0$. از طرفی بنا به ویژگی نامساوی مثلثی برای متریک‌ها داریم که
$$d(x,x_0)\leq d(x,y)+d(y,x_0)=s+d(y,x_0)\lneqq s+r_0$$
اکنون اگر $s\geq r-s$ پس $r_0=r-s$ و در نتیجه $d(x,x_0)< s+r-s=r$، و اگر $s< r-s$ آنگاه $s< \tfrac{1}{2}r$ پس $d(x,x_0)=s+s=2s< r$. در هر صورت $x_0\in E\cap B(x,r)$ و $x_0\neq x$ چون $d(x,y)=s\nless r$ (پس $x$ عضو $B(y,r_0)$ نیست). که این تناقض با این داشت که $B(x,r)$ اشتراکش با $E$ فقط $x$ را دارد.
پس اثبات اینکه مجموعهٔ نقطه‌های تنهای $E$ و $\bar{E}$ در هر متریکی و برای هر زیرمجموعه‌ای برابر است را کامل کردیم. اینک کافی است برای سه گزینهٔ دیگر مثال نقض بیاوریم.
قرار دهید $E=[0,1)\cup\lbrace 2\rbrace$ در $X=\mathbb{R}$ با متر اقلیدسی. مجموعهٔ نقطه‌های تنهای $E$ و $E^\circ$ و $E'$ و $\partial E$ به ترتیب برابر هستند با $\lbrace 2\rbrace$ و $\emptyset$ و $\emptyset$ و $\lbrace 0, 1, 2\rbrace$.
