به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
67 بازدید
در دانشگاه توسط amirali74 (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $(X,d)$ یک فضای متریک باشد و $E\subseteq X$. کدام گزینه درست است؟ ($\bar{E}$ بستار $E$، $E'$ مجموعهٔ نقاط حدی $E$، $E^\circ$ مجموعهٔ نقاط درونی $E$ و $\partial E$ مجموعهٔ نقاط مرزی $E$ است)

  1. مجموعهٔ نقاط تنهای $E$ و $\bar{E}$ برابر هستند.
  2. مجموعهٔ نقاط تنهای $E$ و $E^\circ$ برابر هستند.
  3. مجموعهٔ نقاط تنهای $E$ و $E'$ برابر هستند.
  4. مجموعهٔ نقاط تنهای $E$ و $\partial E$ برابر هستند.
مرجع: پرسشی از بخش آنالیز ریاضی آزمون ورودی دوره‌های کارشناسی ارشد ناپیوستهٔ داخل سال ۱۳۹۹ مجموعهٔ ریاضی
توسط amirali74 (11 امتیاز)
سلام
بله شما درست ویرایش کردین، ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک نقطه از $E$ تنها گفته می‌شد اگر یک همسایگی از آن یافت شود که هیچ عضو دیگری از $E$ را در برنداشته‌باشد. یک نقطهٔ حدی $E$ نمی‌تواند نقطهٔ تنهایش باشد چون یک نقطهٔ حدی هر همسایگی دلخواهش دست‌کم یک عضو دیگر از $E$ را در بر دارد. پس هیج همسایگی‌ای از آن نمی‌توانید پیدا کنید که فقط آن را از $E$ داشته‌باشد. توجه نیز داشته‌باشید که برخی نقطه‌های حدی اصلا ممکن است عضو $E$ نباشند و از همان اول شرط نقطهٔ تنها بودن $E$ را ندارند، به هر حال چه عضو $E$ باشند چه نباشند بنا به مطلبی که گفتیم نقطهٔ تنهای $E$ نمی‌شوند. تعریف بستار را به یاد آورید. $\bar{E}=E\cup E'$. نقطه‌هایی که عضو $E'$ هستند نه تنها نقطهٔ حدی از $E$ هستند بلکه نقطهٔ حدی از $\bar{E}$ نیز هستند (دلیلش بدیهی است چون همسایگی‌هایشان عضو دیگری از $E$ که زیرمجموعهٔ $\bar{E}$ است را دارند). پس هیچ نقطه‌ای از $E'$ نمی‌تواند نقطهٔ تنهای $\bar{E}$ هم بشود. پس اگر $\bar{E}$ نقطهٔ تنهایی داشته باشد آن نقطه باید عضو $E$ باشد. به خاطر تعریف نقطهٔ تنها این نقطه باید همسایگی‌ای داشته‌باشد که $\bar{E}$ را در نقطهٔ دیگری قطع نکند پس به طبع $E$ که زیرمجموعهٔ آن است را نیز در نقطهٔ دیگری قطع نمی‌کند. تا اینجا ثابت شد که مجموعهٔ نقطه‌های حدی $\bar{E}$ زیرمجموعهٔ نقطه‌های حدی $E$ است. اکنون برعکس آن را ثابت کنیم. اگر نقطه‌ای تنهای $E$ باشد پس عضو $E$ و به طبع عضو $\bar{E}$ نیز است. بنا به تعریف تنهایی از $E$ پس همسایگی‌ای از آن مثلا به شعاع $r$ هست که هیچ عضوی از $E$ را غیر از خودش در بر ندارد. کافیست ثابت کنیم که این همسایگی هیچ عضوی از $E'$ را نیز ندارد تا ثابت شود که هیچ عضو دیگری از $\bar{E}=E\cup E'$ را ندارد.

بیایید فرض خلف کنیم. نقطهٔ مورد بحث را $x$ بنامید. اگر به فرض خلف نقطهٔ حدی‌ای مانند $y$ موجود باشد که عضو $B(x,r)$ باشد آنگاه فاصلهٔ $x$ و $y$ از هم یعنی $d(x,y)$ را $s$ بنامید. قرار دهید $r_0=\min(s,r-s)$ (توجه کنید که چون $y$ داخل $B(x,r)$ است پس $s< r$). اکنون از حدی بودن $y$ برای $E$ استفاده کنید، همسایگی به مرکز $y$ و شعاع $r_0$ باید یک عضو از $E$ غیر از $y$ را در بر داشته‌باشد. یک چنین عضوی را $x_0$ بنامید. چون $x_0\in B(y,r_0)$ پس $d(x_0,y)< r_0$. از طرفی بنا به ویژگی نامساوی مثلثی برای متریک‌ها داریم که

$$d(x,x_0)\leq d(x,y)+d(y,x_0)=s+d(y,x_0)\lneqq s+r_0$$

اکنون اگر $s\geq r-s$ پس $r_0=r-s$ و در نتیجه $d(x,x_0)< s+r-s=r$، و اگر $s< r-s$ آنگاه $s< \tfrac{1}{2}r$ پس $d(x,x_0)=s+s=2s< r$. در هر صورت $x_0\in E\cap B(x,r)$ و $x_0\neq x$ چون $d(x,y)=s\nless r$ (پس $x$ عضو $B(y,r_0)$ نیست). که این تناقض با این داشت که $B(x,r)$ اشتراکش با $E$ فقط $x$ را دارد.

پس اثبات اینکه مجموعهٔ نقطه‌های تنهای $E$ و $\bar{E}$ در هر متریکی و برای هر زیرمجموعه‌ای برابر است را کامل کردیم. اینک کافی است برای سه گزینهٔ دیگر مثال نقض بیاوریم.

قرار دهید $E=[0,1)\cup\lbrace 2\rbrace$ در $X=\mathbb{R}$ با متر اقلیدسی. مجموعهٔ نقطه‌های تنهای $E$ و $E^\circ$ و $E'$ و $\partial E$ به ترتیب برابر هستند با $\lbrace 2\rbrace$ و $\emptyset$ و $\emptyset$ و $\lbrace 0, 1, 2\rbrace$.

توسط amirali74 (11 امتیاز)
AmirHosein@
 تو مثال نقضی که زدین مگر سوال نگفته نقاط مرزیه نقاط تنها؟ پس فقط عدد ۲ نمیشه نقطه مرزیه نقاط تنها؟
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
@amirali74 کجای پرسش از «نقاط مرزیِ نقاط تنها» صحبت کرده‌است؟ پرسش در مورد «نقاط تنهایِ نقاط مرزی است». تعریف $\partial E$ را به یاد آورید: $\partial E=\bar{E}-E^\circ=\big([0,1]\cup\lbrace 2\rbrace\big)-(0,1)$. پس در این مثال خواهید داشت $\partial E=\lbrace 0,1,2\rbrace$. در این مجموعهٔ سه‌عوضی کدام نقطه‌ها تنها هستند؟ هر سه‌شان.
+1 امتیاز
توسط mdgi (1,353 امتیاز)

اگر $X$ فضایی مانند $\mathbb{R}^2$ باشد و $B(x_0,r_0)$ گویی دلخواه باشد و شامل $y_0$ نباشد، در اینصورت برای $E=\bigg(B(x_0,r_0)\backslash \lbrace x_0\rbrace \bigg) \cup \lbrace y_0\rbrace$ گزینه های دو سه و چهار اشتباه میشوند.

توسط amirali74 (11 امتیاز)
–1
Mdgi@
اگر مجموعه ی Eرا برابر ۱تقسیم به n بگیریم گزینه اول غلط نمیشه؟(X=R)
توسط amirali74 (11 امتیاز)
مجموعه ی Eرا ۱تقسیم برn بگیریم نقطه هاش همه تنها هستن و نقطه ی حدیش صفر هست که بستار با خود Eبرابر نمیشه
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
+1
@amirali74 یک بار نوشتن چیزی کافی است. به هر حال،
یک: «۱ تقسیم بر $n$» اولا نیاز دارد $n$ را اول بگوئید چیست، با فرض اینکه عددی طبیعی باشد آنگاه شما یک عدد دارید نه مجموعه! $\frac{1}{n}$ یک عدد است. اگر منظورتان هر عدد طبیعی باشد که یک عدد را به چند عدد تقسیم نمی‌کنند. احتمالا منظورتان «مجموعهٔ $\frac{1}{n}$ ها» است. پس «$E$ را ۱ تقسیم بر $n$ بگیریم» نادرست است، درستش «$E$ را مجموعهٔ ۱ تقسیم بر $n$ها برای $n$های طبیعی بگیریم» است.
دو: اینکه بستار $E$ با خودش برابر شود یا خیر مورد پرسش نیست، پرسش می‌خواهد ببینید مجموعهٔ نقاط تنهای $E$ با مجموعهٔ نقاط تنهای $\bar{E}$ برابر می‌شود یا خیر که در مورد مثال شما اتفاقا مجموعهٔ نقطه‌های تنهای $E$ و $\bar{E}$ با هم برابر هستند.
می‌توانستید این فکرتان را به عنوان تلاشتان در مورد حل پرسش در ادامهٔ متن پرسش بنویسید همانطور که در راهنمای سایت اشاره شده‌است که تلاش‌تان را برای حل پرسش در ادامهٔ متن پست پرسش بنویسید تا در هنگام گرفتن پاسخ، راهنمایی بهتری بگیرید.
توسط mdgi (1,353 امتیاز)
+1
خیر همانطور که AmirHosien گفته اند گزینه اول غلط نمیشود

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...