به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
60 بازدید
در دبیرستان توسط 00ali00 (33 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید که معادلهٔ $(a+b)(2a+b)=3^{2016}$ در اعداد طبیعی هیچ جوابی ندارد. یعنی ثابت کنید که اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی دلخواه باشند، آنگاه این تساوی برقرار نخواهد بود.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mdgi (1,255 امتیاز)

با برهان خلف، فرض کنید معادله گفته شده در اعداد طبیعی دارای جواب باشد. قرار میدهیم: $a=3k+r$ و $b=3k'+r'$ که $r,r'\in \lbrace 0,1,2\rbrace $. با جایگذاری داریم: $$(3(k+k')+r+r')(3(2k+k')+2r+r')=3^{2016} $$ بنابراین اعداد $r+r'$ و $2r+r'$ باید بر $3$ بخش‌پذیر باشند، پس $r=r'=0$. حال با تقسیم طرفین بر $3$ نتیجه میشود $(k+k')(2k+k')=3^{2014}$ در مجموعه اعداد طبیعی دارای جواب است.

با ادامه همین روند نتیجه میشود معادله $$(a+b)(2a+b)=3^2$$ در مجموعه اعداد طبیعی دارای جواب است درحالی که جواب ندارد. پس فرض خلف باطل است.

توسط 00ali00 (33 امتیاز)
–1
ممنون که حلش کردید
ببخشید من دو تا سوال داشتم:
1 - اینکه آیا راه حل دیگری هم برای این مسعله هست؟؟؟
2- در صورت مواجه شدن با این گونه سوالات از چه ایده کلی باید استفاده کنیم یعنی چه ایده ای برای حل مساعل مشابه به این هست؟؟؟
توسط mdgi (1,255 امتیاز)
واقعیتش اینکه راه های دیگه ای هم داشته باشد نمیدانم. من فکر میکنم راه حل کلی  برای اینگونه سوالات وجود ندارد. در واقع روش های زیادی در نظریه اعداد برای حل اینگونه سوالات وجود دارد که برای هر سوال باید روش خاص خودش را بکار برد.
توسط AmirHosein (10,687 امتیاز)
@00ali00 مساعل نادرست است، احتمالا منظورتان مسائل یا مسأله‌ها است. و برای تشکر از پستی روی سه‌گوش رو به بالای سمت راستش کلیک کنید به جای اینکه کتبی بنویسید ممنون.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...