به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
47 بازدید
در دبیرستان توسط 00ali00 (33 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

برای یک عدد طبیعی دلخواه $n$ بزرگترین عدد طبیعی $k$ را بیابید به گونه‌ای که عدد $2^k$، عدد $3^n+1$ را بشمارد.

توسط 00ali00 (33 امتیاز)
n یا فرد است یا زوج است اگر فرد باشد از اتحاد چاق و لاغر استفاده میکنیم و میفهمیم که k حداکثر ۲ است ولی اگر n زوج باشد رو دیگه راه حلشو نمیدونم
توسط 00ali00 (33 امتیاز)
فکر کنم شما عدد رو برعکس گرفتید عدد دو به‌ توان k عدد 3 به توان n به 1 را میشمارد یعنی 3 به توان n به علاوه 1 بر دو به توان k باید بخش پذیر باشد اگر اینطوی نگاه کنیم برای هر n ای k وجود دارد
توسط AmirHosein (10,683 امتیاز)
@00ali00 دیدگاه اول‌تان را در ادامهٔ متن پرسش می‌نوشتید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
قبل توسط soroush za (92 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein

جواب: برای $n$های فرد $k=2$ و برای $n$های زوج $k=1$.

برهان: اول حکم را برای $n$های فرد اثبات می‌کنیم. چون

$$3^{n}+1=(4)( 3^{n-1}- 3^{n-2} +\cdots+1)$$

و $(3^{n-1}- 3^{n-2} +...+1)$ عددی فرد است پس بزرگترین توان دویی که $ 3^{n}+1 $ را عاد می‌کند، $ 2^{2} $ است.

اکنون برای $n$های زوج. فرض می‌کنیم $n=2^{ \alpha } \beta $ که$ \beta$ عددی فرد است و $ \alpha\geq 1 $. پس خواهیم داشت که

$$3^{n}+1=( 3^{2^{ \alpha } }+1)( 3^{2^{ \alpha }( \beta -1)} - 3^{ 2^{ \alpha }(\beta -2)}\cdots+1)$$

که می‌دانیم $ ( 3^{2^{ \alpha }( \beta -1)} - 3^{ 2^{ \alpha }(\beta -2)}+\cdots+1)$ عددی فرد می‌شود. پس باید ثابت کنیم که ۴ عدد $3^{2^{ \alpha } }+1 $ را عاد نمی‌کند. توجه کنید که

$$3^{2} \overset{4}{\equiv} 1\;\Longrightarrow\; 3^{2^\alpha}\overset{4}{\equiv}1$$

پس به روشنی ثابت میشود که ۴ عدد $3^{2^{ \alpha } }+1 $ را عاد نمی‌کند.

قبل توسط soroush za (92 امتیاز)
x ها 3 بوده اند و اصلاح شد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...