به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
35 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (129 امتیاز)

در یک دایره ی داده شده nوتر که بیشتر مساوی ۲ است داده شده است به گونه ای که هیچ سه تایی همرس نیستند اگر mتعداد نقاط برخورد وتر ها و r تعداد پاره خط های حاصل از تقسیم وتر ها توسط نقطه های برخورد باشد.r را برحسب m،nبیابید. جواب n + 2m چگونه جواب این شد

مرجع: اصول و فنون ترکیبیات. دانش پژوهان جوان

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mdgi (1,221 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

فرض بر این است که هیچ دو وتری همدیگر را روی خود دایره قطع نمیکنند چون در غیر اینصورت فرمول اشتباه میشود.

از استقرا روی $n$ استفاده می‌کنیم. وقتی $n=2$، آنگاه یا $m=1$ یا $m=0$ که در هر دو حالت تعداد پاره‌خط ها میشود $n+2m$. پس گام استقرا برقرار است. فرض استقرا: برای $n=1$ تا $n=k-1$ فرمول صحیح است. حال فرض کنیم $n=k$ و فرض کنید تعداد نقاط برخورد مساوی با $m$ باشد.

یکی از وتر ها را برمیداریم، طبق فرض استقرا تعداد پاره خط ها مساوی است با $(n-1)+2(m-x)$ که $x$ تعداد نقاط برخوردی است که کم شده(فرضکن$x\ne 0$). حال همان پاره خط را در همان مکان می‌گذاریم. تعداد پاره‌خط های جدیدی که به‌دست می‌آید می‌شود $2x+1$. (درواقع میتوان این‌گونه حساب کرد: از ابتدای وتر حرکت به سوی انتهای وتر میکنیم، به هر نقطه ای که رسیدیم، تولید دوتا پاره‌خط جدید کرده(توضیحش سخته، کافیست فکرکنیم!)، پس وقتی به آخرین نقطه یعنی نقطه $x$-ام می‌رسیم، $2x$ پاره خط جدید داریم، اما وقتی کمی جلو تر میرویم و به انتهای وتر می‌رسیم، یکی دیگر اضافه می‌شود).

حال با قبلی جمع میکنیم: $$(n-1)+2(m-x)\ \ +\ \ 2x+1\ \ =\ \ n+2m $$

توسط Elyas1 (129 امتیاز)
ممنون از راهنمایی شما، ولی گمان میکنم راه حل دیگری وجود دارد چون سوال در بخشی است که استقراء معرفی نشده است

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...