به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
39 بازدید
قبل در دبیرستان توسط Am.s (82 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن قبل توسط AmirHosein

معادلهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$\left | \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor \right | =a $$

هر تلاشی برای حل آن انجام دادم به نتیجه‌ای نرسیدم. چگونه می‌توان آن را برحسب $x$ حل کرد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
قبل توسط Math.Al (167 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط Math.Al
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

در معادلهٔ زیر :

$\left | \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor \right | =a $

ابتدا باید معادله را به صورت زیر بنویسیم،زیرا معادله دارای قدر مطلق است.

$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =\pm a $

پس باید دو معادلهٔ زیر را حل کنیم :

$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a $

$ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a $

ابتدا معادلهٔ $ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor = a $ را حل می‌کنیم.

می‌توان این معادله را به صورت نامساوی زیر ‌نوشت :

$$a \leq \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } < a+1 $$

هر سه طرف نامساوی را به توان $2$ می‌رسانیم.

$$a^2 \leq \left \lfloor x \right \rfloor < a^2+2a+1 $$

که می‌توان این نامساوی را به صورت زیر نوشت :

$$a^2 \leq x < a^2+2a+1 $$

معادلهٔ $ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor x \right \rfloor } \right \rfloor =- a $ نیز به همین صورت حل می‌شود.

البته همهٔ این ها در صورتی درست است که $a$ نامنفی باشد، ولی اگر $a$ منفی بود در این صورت باید تغییراتی در نامساوی ایجاد کرد تا جواب معادله به درستی بدست آید.

بنابراین معادله حل شد و کار به اتمام رسید.

قبل توسط AmirHosein (10,688 امتیاز)
+2
@Math.Al احتمالا شما فرض کرده‌اید که $a$ نامنفی باشد. چون برای نمونه در قسمت مربوط به خود $a$، اگر $a$ منفی و کمتر از $-1$ باشد آنگاه سمت نابرابری‌ها پس از به توان رساندن تغییر می‌کند. و اگر هم بین صفر و منفی یک باشد که پس از به توان زوج رساندن یک طرف صفر و طرف دیگر بازه بیشینهٔ توان دو طرف می‌شود. برای قسمت $-a$ نیز همین حالت‌بندی را نیز باید انجام دهید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...