به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
43 بازدید
در دانشگاه توسط Monire cheri (-1 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک منحنی از مبدا در صفحهٔ $x\circ y$ شروع می‌شود و در ربع اول صفحهٔ مختصات گسترش می‌یابد. مساحت سطح زیر منحنی از نقطه $(0,0)$ تا نقطهٔ$(x,y)$ یک سوم مساحت مستطیلی است که دو نقطهٔ یادشده دو راس متقابل آن هستند. معادلهٔ منحنی را بیابید.

توسط AmirHosein (11,162 امتیاز)
@Monire_cheri عنوان مناسب برای پرسش‌هایتان بگذارید، می‌توانید پست زیر را بخوانید تا شرایط یک عنوان مناسب را متوجه شوید. با گذاشتن عنوان مناسب احتمال پاسخ‌گیری سریع‌تر پرسش‌تان را نیز افزایش می‌دهید. https://math.irancircle.com/11973 برای نمونه نگاه کنید که من برایتان عنوان پرسش را به چه چیزی تغییر داده‌ام.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (11,162 امتیاز)

بیایید داده‌های پرسش را بنویسیم. ضابطهٔ منحنی‌تان را $y=f(x)$ در نظر بگیرید. مساحت زیر نمودار آن برای طول‌های از صفر تا $x$ که $x$ هر مقدار دلخواهی می‌تواند باشد با انتگرال زیر بدست می‌آید.

$$\int ydx$$

مساحت مستطیلی که نقطه‌های $(0,0)$ و $(x,y)$ دو گوشهٔ روبرویش (بر روی یک قطر) هستند برابر است با $xy$. پس پرسش می‌گوید که

$$\int_0^xydx=\frac{1}{3}xy$$

اکنون از دو طرف مشتق بگیرید و عملیات‌های زیر که باید برایتان روشن باشد که چه هستند (با توجه به اینکه از برچسب‌ها مشخص است درس‌های ریاضی عمومی و معادلات‌دیفرانسیل داشته‌اید) را انجام دهید.

$$\begin{array}{l} \begin{array}{ll} y=\frac{1}{3}(y+xy') &\Longrightarrow \frac{2}{3}y=\frac{1}{3}xy'\\ &\Longrightarrow 2y=xy'\\ &\Longrightarrow \frac{2}{x}=\frac{y'}{y}\\ &\Longrightarrow 2\ln x=\ln y+c\\ &\Longrightarrow \ln y=2\ln x-c\\ &\Longrightarrow y=cx^2 \end{array}\\ \therefore f(x)=cx^2,\;c\in\mathbb{R} \end{array}$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...