به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
904 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط fardina

با توجه به تعریف $ \|. \| _1 $ و $ \| . \| _2 $ که بصورت زیر است:

$ \| x \| _1= \sum_1^n |x_i| $ و $ \|x \|_2=( \sum_1^n |x_i|^2 )^{\frac 12 } $

چگونه ثابت میشود:

$$ \| x \|_2 \leq \| x \| _1 \leq \sqrt{n} \| x \|_2 $$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

راهنمایی:

برای اثبات $\|x\|_2\leq \|x\|_1$باید از استقرا استفاده کنید و نامساوی $\sqrt[n]{a+b}\leq \sqrt[n]a+\sqrt[n]b$ برای $a,b> 0$ را به کار ببرید. (اثبات این نامساوی ساده است زیرا بنابر بسط دو جمله ای: $(\sqrt[n]a+\sqrt[n]b)^n= a+b+...$ )

برای اثبات $\|x\|_1\leq \sqrt n\|x\|_2$ با استفاده از استقرا داریم:

واضح است که برای $n=1$ برقرار است.

فرض برای $n$ درست باشد یعنی $|x_1|+...+|x_n|\leq \sqrt n\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$

نشان می دهیم برای $n+1$ هم درست است یعنی : $$|x_1|+...+|x_n|+|x_{n+1}|\leq \sqrt {n+1}\sqrt{x_1^2+...+x_n^2+x_{n+1}^2}$$ داریم: $|x_1|+...+|x_n|+|x_{n+1}|\leq \sqrt n\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}+|x_{n+1}|$

کافی است نشان دهیم $\underbrace{ \sqrt n\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}+|x_{n+1}|\leq \sqrt {n+1}\sqrt{x_1^2+...+x_n^2+x_{n+1}^2}}_A $

نشان دهید: $A\iff (\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}-\sqrt n|x_{n+1}|)^2\geq 0$ (خیلی ساده است فقط طرفین تساوی را به توان دو برسانید) و لذا حکم ثابت است.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

تنها نامساوی های سمت راست رو ثابت می کنم

$ \parallel x \parallel _{1} = \sum_1^n \mid x_{i} \mid \times 1 \leq ( \sum_1^n \mid x_{i} \mid ^{2} )^{ \frac{1}{2} } ( \sum_1^n 1^{2} )^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{n}( \parallel x \parallel _{2} ) $

که از نامساوی کوشی شوارتز استفاده شد.

$ \parallel x \parallel _{2} ^{2}= \sum_1^n \mid x_{i} \mid ^{2} \leq n. (max \mid x_{i} \mid )^{2}=n \parallel x \parallel _{ \infty } ^{2} $
$ \parallel x \parallel _{1} = \sum_1^n \mid x_{i} \mid \ \leq n.max \mid x_{i} \mid =n \parallel x \parallel _{ \infty }$

نامساوی های سمت چپ هم به سادگی ثابت میشه

دارای دیدگاه توسط fardina
اینکه از کوشی شوارتس استفاده کردید خیلی جالب بود.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...