به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
148 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

مشتق تابع زير ...(با اثبات)

$$y=f \big(u\big) $$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

باید از مشتق توابع زنجیزی استفاده کنید. در اینجا $f$ تابعی از $u$ و $u$ هم تابعی از متغیر سوم مثلا $x$ است. در اینصورت مشتق تابع $f$ برحسب $x$ برابر است با $\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\times \frac{du}{dx}$ به عبارت دیگر $(f(u))'=f'(u)\times u'$.

اثباتی از قاعده زنجیری:

قضیه: فرض کنید $g$ در $a$ و $f$ در $g(a)$ مشتق پذیر باشند. در اینصورت $f\circ g$ در $a$ مشتقپذیر بوده و داریم : $(f\circ g)'(a)=f'(g(a))\times g'(a)$

چون $g'(a)=\lim_{x\to a}\frac {g(x)-g(a)}{x-a}$ بنابراین $$g(x)-g(a)=(x-a)(g'(a)+\epsilon(x))$$ که وقتی $x\to a$ داریم $\epsilon(x)\to 0$ و به همین ترتیب برای $f'(g(a))$ داریم: $$f(y)-f(g(a))=(y-g(a))(f'(g(a))+\epsilon '(y))$$ که وقتی $y\to g(a)$ داریم $\epsilon '(y)\to 0$. اما چون $y=g(x)$ پس در رابطه ی اخیر داریم: $$\begin{align}f(g(x))-f(g(a))&=(g(x)-g(a))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))\\ &=(x-a)(g'(a)+\epsilon(x))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))\end{align}$$ حال با فرض $x\neq a$ داریم $$\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=(g'(a)+\epsilon(x))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))$$ اگر از طرفین حد بگیریم وقتی $x\to a$ طرف چپ برابر $(f(g(x)))'(a)$ بوده و چون $x\to a$ لذا $\epsilon(x)\to 0$ و از طرفی چون $g$ در $a$ مشتقپذیر است لذا در $a$ پیوسته بوده پس $g(x)\to a$ بنابر این $\epsilon '(g(x))\to 0$ و بنابر این طرف راست برابر $g'(a)f'(g(a))$ است.

دارای دیدگاه توسط
+1
@saderi7
متوجه منظورتون نشدم؟
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

باتوجه به

$$y=f \big(u\big) \Longrightarrow y' = u' f' \big(u\big) $$

بنابراين

$$ \int_a^x u' f' \big(u\big)=f \big(u\big)+c $$

ميخواهيم تمام فرمول هاي انتگرال هاي مقدماتي را در اينجا ياد آور شويم

كه اين فرمول هارا به سه دسته تقسم مي كنيم.

1-) انتگرال هاي توابع گويا وراديكالي

2-)انتگرال هاي توابع نمايي

3-)انتگرال هاي توابع مثلثاتي

توابع گويا و راديكالي

$$ \int u^{n} . u' dx = \frac{ u^{n+1} }{n+1} +c \Longrightarrow n \neq -1 $$ $$ \int \frac{ u' }{u}dx= ln |u| +c $$ $$ \int \frac{ u' }{ u^{n} }dx= \frac{ u^{-n+1} }{-n+1} +c \Longrightarrow n \neq 1$$ $$ \int \sqrt[n]{ u^{m} } . u' dx= \frac{ u^{ \frac{m}{n}+1 } }{ \frac{m}{n}+1 }+c$$ $$ \int \frac{ u' }{ \sqrt[n]{ u^{m} } }dx= \frac{ u^{ \frac{-m}{n}+1 } }{ \frac{-m}{n}+1 }+c $$

توابع نمايي

$$ \int a^{u} x . u' dx= \frac{ a^{u} }{lna} +c$$ $$ \int e^{u}.u'dx= e^{u} +c $$

توابع مثلثاتي

$$ \int sin \big(u\big) . u'dx=-cos \big(u\big) +c $$ $$ \int cos \big(u\big) . u' dx=sin \big(u\big)+c$$ $$ \int tan \big(u\big) . u' dx=-ln|cos \big(u\big) |+c$$ $$ \int cot \big(u\big) .u' dx=ln|sin \big(u\big) |+c $$ $$ \int (1+ tan^{2} \big(u\big)) .u' dx=tan \big(u\big)+c $$ $$ \int (1+ cot^{2} \big(u\big)).u' dx=-cot \big(u\big)+c $$
دارای دیدگاه توسط
+1
متاسفانه این مطلب شما اسپم محسوب میشه! چون در قسمت پاسخ باید فقط پاسخ به سوال نوشته بشه. در اینصورت سوالات به درستی دسته بندی شده و در آینده افراد میتونن به اینجا رجوع کنن. در ضمن قسمت تانژانت کتانژانت رو یه پرانتز باید بذارید:
$\int (1+\tan^2 u)u'$. و چون انتگرال نامعین است لزومی به نوشتن کران های پایین و بالا ندارد.
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
@fardina
ممنون از دقتتون
من خواستم كران هاي پايين وبالا رو بردارم ولي نمي شد...
به هر حال ويرايشش كردم...
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...