به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
56 بازدید
در دبیرستان توسط Mahdi.k (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

همه جواب‌های $\sin 2x= \sqrt 2 \sin x + \sqrt 2 \cos x - 1$ در بازهٔ $[0,\pi]$ را بدست‌آورید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

مرجع: فصل ۲ ریاضی دوازدهم تجربی
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
@Mahdi.k شرط حداقل تعداد کاراکترها برای این گذاشته شده است که به مشکل یا تلاش خودتان اشاره کنید نه اینکه در متن نقطه‌نقطه پر کنید. عنوان پرسش‌تان نیز مناسب نبود، به ویرایشی که انجام دادم نگاه کنید.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط good4us (3,553 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
$$\begin{array}{l} 1+\sin 2x= \sqrt{2} (\sin x+\cos x)\Longrightarrow\\ (\sin x+\cos x)^{2}= \sqrt{2} (\sin x+\cos x) \end{array}$$

دو حالت داریم. اگر \begin{align} \sin x+\cos x=0 &\Rightarrow \tan x=-1\\ &\Rightarrow x= \frac{3 \pi }{4} \end{align}

یا اگر

\begin{align} sin x+\cos x \neq 0 &\Rightarrow \sin x+\cos x = \sqrt{2} \\ &\Rightarrow \sqrt{2} \sin(x+ \frac{ \pi }{4})= \sqrt{2}\\ &\Rightarrow \sin(x+ \frac{ \pi }{4})=1\\ &\Rightarrow x+\frac{ \pi }{4}=\frac{ \pi }{2}\\ &\Rightarrow x=\frac{ \pi }{4} \end{align}
0 امتیاز
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

به نام خالق ریاضیات.

با توجه به معادله فوق، می توان نوشت:

$sin2x +1 = \sqrt{2}sinx+ \sqrt{2}cosx$

یک راه برای حل چنین معادله هایی، استفاده از توان رسانی است. پس در این صورت داریم:

$sin^22x+1+4sinx.cosx=2sin^2x+2cos^2x+4sinx.cosx \Longrightarrow sin^22x+1=2(sin^2x+cos^2x) \Longrightarrow (sin2x+1)(sin2x-1)=0$

از طرفی بنا به فرض مسئله، خواهیم داشت:

$2x= \frac{π}{2} \Longrightarrow x= \frac{π}{4}$

یا خواهیم داشت:

$2x= \frac{3π}{2} \Longrightarrow x= \frac{3π}{4}$

توسط Ramtin (199 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
هنگامی که یک معادله سینوسی به توان می رسد، عدد توان فقط روی کلمه سینوس یا کسینوس قرار می‌گیرد بنابر این $\sin^2x \neq \sin x^2$
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@Ramtin تشکر از راهنمایی دوست عزیز. پاسخ اصلاح گردید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...