به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
93 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (573 امتیاز)

فرض می کنیم:

$d=1+2^1+2^2+... $

حال می نویسیم:

$2d=2+2^2+2^3+... \Longrightarrow 2d+1=1+2^1+2^2+...$

از دو تساوی نتیجه می گیریم که $2d+1=d$ که در این صورت نتیجه می دهد که $d=-1$. یعنی جمع چندین عدد مثبت برابر با 1-شده! که این ناممکن است. مشکل کجاست؟

توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
+1
@Elyas1 از کجا می‌دانید که $d$ یک عدد متناهی است که در قوانین میدان اعداد حقیقی با عمل‌های جمع و ضرب صدق کند؟ میدان اعداد حقیقی مجموعهٔ پس‌زمینه‌اش عددهای حقیقی هستند که همگی متناهی اند. پس شما اول نیاز دارید ثابت کنید که $d$ متناهی است یا در واقع عددی حقیقی است که سپس بتوانید ساده‌سازی‌ای که انجام دادید را انجام بدهید و به $d=-1$ برسید. برای این کار هم در واقع همان همگرایی سری در مجموعهٔ اعداد حقیقی را باید ثابت کنید. بنابراین تناقضی از اول نبوده بلکه شما با فرضی اشتباه شروع کردید که آن هم عدد حقیقی بودن $d$ است و سپس به نتیجه‌ای رسیدید که ارزش خاصی ندارد چون از فرض درستی نیامده است.
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
+1
@AmirHosin تشکر از استاد گرامی.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (406 امتیاز)

با درود به دوست گرامی @Elyas1 : بنظر میرسد تناقض مسئله در اینجاست که برای تغییر در هر طرف معادله، همان تغییر باید در سمت دیگر معادله انجام شود که در اینجا نشده است. زیرا اگر داشته باشیم؛

1) $d=1+2^1+2^2+...$

2) $2d=2+2^2+2^3+...$

نتیجه 2 صحیح است زیرا هردوطرف معادله 1 به دو ضرب شده است و تعداد و شکل جملات 1 و 2 نیز یکی است. ولی نتیجه 3 در زیر اشتباه است.

3) $2d+1= 1+2^1+2^2+...$

زیرا به سمت چپ معادله 2، عدد یک اضافه شده ولی سمت راست آن بر دو تقسیم شده. بنابراین باید داشته باشیم؛

4) $2d+1=(2+2^2+2^3+...)+1$

یا با فاکتورگیری دو از سمت راست معادله 4 داریم؛

5) $2d+1= 2(1+2^1+2^2+...)+1$

که هم تعداد و شکل جملات درهردوطرف معادله یکی است و هم عدد یک به جملات هردوطرف معادله 2 اضافه شده است.

توسط Elyas1 (573 امتیاز)
درود بر استاد گرامی.
بنده فکر نکنم این یک مشکل باشد. سمت راست معادله با یک جمع شده است. آقای @AmirHosein می فرمایند که اصلاً نمی توان اعمال جمع و ضرب را انجام داد چون d نامتناهی است. البته این چیزی است که من برداشت کردم.
توسط ناصر آهنگرپور (406 امتیاز)
@Elyas1 : با درود مجدد; استدلال استاد @AmirHosein انکارناپذیر است. چیزیکه واضح است جمع اعداد طبیعی مثبت هیچگاه منفی نمیشود و در صورت نامتناهی بودن واگرا شده و به مثبت بینهایت میل میکند. بنده نیز سواد ناچیز خود را با اساتید محترم این سایت افزایش داده ام و نسبت به همه اساتید ارادت خالصانه دارم. عدد 1 در معادله 3 در قسمت پاسخ، حاصل تقسیم جمله اول سمت راست معادله 2 بر دو است و وجود مستقل ندارد. موفق و سربلند باشید.
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
+1
@Elyas1 و @ناصرـآهنگرپور اینکه بگوئیم تعداد اعضای جمع در عبارت ۳ یک دانه بیشتر از تعداد اعضای جمع در عبارت ۲ است زیاد معنادار نیست. چرا؟ چون تعداد عددهای جمع شده تعدادی متناهی نیست که اختلاف‌شان عددی متناهی شود یا اینکه تعدادشان را با اعداد طبیعی بشماریم. در واقع شما می‌توانید از عدد اصلی مجموعهٔ عددهای ظاهر شده در جمع صحبت کنید که در اینجا یک عدد طبیعی نمی‌شود. تنها اگر از جایی به بعد جمع را قطع کنید یعنی جمع آمده در عبارت ۲ تا فقط جملهٔ صدم باشد، آنگاه بله در عبارت ۳ شما ۱۰۱ جمله دارید. لذا این پاسخ مشکلی را حل نکرده‌است. اگر هم منظورتان این است که عدد اصلی مجموعه‌ای که از تفاضل مجموعه‌ایِ دو مجموعهٔ اعضای دو جمع بدست می‌آید برابر با ۱ است که به تنهایی علتی بر برابر نشدن حاصل دو جمع نمی‌شود.
بعلاوه شاید برایتان جالب باشد که چون تمامی اعضای این جمع (سری) حقیقی مثبت هستند، تغییر در ترتیب و یا پرانتزگذاری در اعضا تفاوتی در حاصل ایجاد نمی‌کند یعنی شکلی که در متن پرسش آمده و شکلی که شما در پایان این پاسخ نوشتید هر دو یک سری برابر هستند.
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
+1
@Elyas1 من نگفتم نمی‌توان جمع و تفریق انجام داد، گفتم قوانین حذف و غیره که استفاده می‌کردید دیگر همیشه برقرار نیستند. یعنی اینکه اگر $x\in\mathbb{R}$ آنگاه مثلا از $2x=x$ نتیجه می‌گرفتید که $x$ صفر است. اما اگر $x\in\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$ دیگر این نتیجه گیری درست نیست، اکنون سه حالت دارید! $x\in\lbrace0,-\infty,\infty\rbrace$. آیا $d$ای که در پرسش دارید عضوی از $\mathbb{R}$ است یا عضوی از $\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$؟ شما وابسته به اینکه متغیرتان به چه فضایی تعلق دارد باید از قوانین همان فضا استفاده کنید. امیدوارم این توضیح منظور رو برایتان روشن‌تر کرده‌باشد.
توسط ناصر آهنگرپور (406 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
–1
با درود به دوست گرامی @Elyas1 و استاد عزیز @AmirHosein : چون نتیجه غلط $2d+1=d$ و $d=-1$ با تلاش تناظر یک به یک عبارتهای اول و دوم بدست آمده، بنابراین هر تغییری در عبارات 1 و 2 باید با تناظر یک به یک انجام شود. و این تغییرات متناظر در عبارت 3 دیده نمیشود و نتیجه غلط میدهد. چرا؟ چون سمت راست معادله 2 بر دو تقسیم شده ولی سمت چپ همان معادله بر دو تقسیم نشده. از طرف دیگر به سمت چپ معادله 2 عدد 1 اضافه شده و به سمت راست اضافه نشده و عدد 1 در سمت راست معادله 3 حاصل تقسیم بر دو سمت راست معادله 2 است و نمیتوان آنرا مستقل شمرد و این برخلاف قوانین جبر است. و اگر نتیجه غلط با تغییرات متناظر بدست نیامده، باید پرسید این نتیجه از کجا آمده؟ البته این برداشت بنده است و اگر اشتباهی هست، از راهنماییتان سپاسگزار خواهم شد. با آرزوی موفقیت برای همه عزیزان.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...