به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
120 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید .

$$ \int_{-\pi}^π x^{2}\cos nxdx $$
توسط saderi7
+2
از روش جدولي كه حالت خاصي از جز به جز است ميتوالنيد حل كنيد
اين نكته هم فراموش نكنيد كه تابع جلوي انتگرال زوج است...

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $I=\int_{0}^\pi x^2\cos nx dx$ چون تابع زوج است لذا $\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx dx=2\int_0^\pi x^2\cos nx dx=2I$ . با قرار دادن $$\begin{cases}u=x^2\\ dv=\cos nx dx\end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases}du=2xdx\\ v=\frac 1n\sin nx\end{cases}$$ و استفاده از جز به جز داریم:

$$\require{cancel}I=\cancelto 0 {\frac{x^2}{n}\sin nx|_0^\pi} -\frac 2n\int _0^\pi x\sin nx dx =-\frac 2n\int _0^\pi x\sin nx dx$$

قرار دهید $J=\int _0^\pi x\sin nx dx$ در اینصورت با قرار دادن

$$\begin{cases}u=x\\ dv=\sin nx dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac 1n\cos nx \end{cases}$$

و جزبه جز داریم:

$$\require{cancel}J=-\frac xn \cos nx|_0^\pi -\frac 1n\cancelto 0{\int_0^\pi \cos nxdx}=-\frac \pi n\cos n\pi =-\frac \pi n(-1)^n$$

اما

$$I=-\frac 2n J=-\frac 2n(-\frac\pi n)(-1)^n=\frac {2\pi}{n^2}(-1)^n$$

بنابر این جواب برابر است با $$\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx dx=2I=\frac{4\pi}{n^2}(-1)^n$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...