اولاً $g$ نمی‌تونه اون چیزی که شما نوشتید (Gravity of Earth = گرانش زمین) باشه. چون در این صورت جنس کمیت سمت راست تساوی با جنس کمیت سمت چپ ناسازگار می‌شه.
در مکانیک نیوتنی «گرانش» یک «نیرو» به حساب میاد. ضریب اصطکاک ($ \mu _{k} $) هم که یک عدد بدون یکاست. با این حساب، جنس کمیت سمت راست تساوی می‌شه «نیرو». این در حالیه که کمیت سمت چپ رو خودتون نوشتید «شتاب» (acceleration).
پس $g$ همون‌طور که رایجه، باید «شتاب گرانش زمین» باشه (نه گرانش زمین).
نکته دیگه اینکه این فرمول، فقط در یک حالت خاص درسته. بنابراین نباید پرسید «چطوری اثبات می‌شه؟». بهتر بود می‌پرسیدید «در چه شرایطی درسته و چرا؟».
در شرایطی که جسم روی یک سطح کاملاً افقی قرار داره یا سُر می‌خوره، «نیروی عمودی تکیه‌گاه» یا Normal Force برابر می‌شه با نیروی وزن جسم یعنی $mg$ (که $m$ جرم جسم است):
In the simple case of a mass resting on a horizontal surface, the only component of the normal force is the force due to gravity, where $ N = mg $.
منبع: https://en.wikipedia.org/wiki/Friction
منظورش از $N$ همون Normal Force (نیروی عمودی تکیه‌گاه) هست.
اگر توی همون صفحه از وب‌سایت Wikipedia به قسمت Kinetic friction (اصطکاک جنبشی) مراجعه کنید، علاوه بر اطلاعات مفیدی که در این باره وجود داره، فرمولش رو هم ملاحظه خواهید کرد:
Kinetic friction, also known as dynamic friction or sliding friction, occurs when two objects are moving relative to each other and rub together (like a sled on the ground). The coefficient of kinetic friction is typically denoted as $ \mu_{k} $, and is usually less than the coefficient of static friction for the same materials.[41][42] However, Richard Feynman comments that "with dry metals it is very hard to show any difference."[43] The friction force between two surfaces after sliding begins is the product of the coefficient of kinetic friction and the normal force: $ F_{k} = \mu_{k} F_{n} $.
$$ F_{k} = \mu_{k} F_{n} $$
که $ F_{k} $ نیروی اصطکاک جنبشی و $ F_{n} $ همون $N$ یا نیروی عمودی تکیه‌گاهه.
فرمولی رو که از پیش‌فرضمون به دست اومد ($ F_{n} = N = mg$) در نظر بگیرید و طرفین این تساوی آخر رو بر $m$ تقسیم کنید. سمت راست تساوی می‌شه همون سمت راست معادله شما ($ \mu_{k}g $). سمت چپ تساوی هم می‌شه $ F_{k} / m$ که با فرض اینکه نیروی دیگه‌ای (به جز اصطکاک و گرانش و نیروی عمودی تکیه‌گاه) به جسم وارد نشه، می‌شه همون شتاب جسم ($ a $). چرا؟
چون سطحمون کاملاً افقیه و جسم هیچ حرکتی در راستای قائم نداره، بنابراین بردار شتابش هیچ مؤلفه‌ای در راستای قائم نداره. در نتیجه برایند نیروها در این راستا کاملاً خنثی‌ست. و از اون‌جایی که نیروهای گرانش و تکیه‌گاه کاملاً در همین راستای قائم هستند و از طرفی نیروی اصطکاک هم در راستای سطحه، پس (دقیقاً بر خلاف اون دو نیرو که کاملاً عمودی بودند) کاملاً افقیه و هیچ نقشی در راستای قائم نداره، می‌تونیم نتیجه بگیریم که دو نیروی گرانش و تکیه‌گاه، هم‌دیگه رو به طور کامل خنثی کردند. پس تنها یک نیرو در ایجاد شتاب برای جسم نقش ایفا کرده و شتاب جسم رو می‌تونیم از تقسیم همون نیرو بر جرم جسم به دست بیاریم.
موفق باشید.
