به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
73 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Elyas1 (1,221 امتیاز)

فرض کنید $a,b$ اعداد صحیح باشند و $(a,b)=1$ ثابت کنید:

$(7a+3b, 2a-b)=1$

تلاش انجام شده :

$(a,b)=(a,-b)=(a,2a-b)=(7a-3b,2a-b)=1$

تلاش دیگر:

$(7a+3b, 2a-b)=d$

$d| 7a+3b \Longrightarrow d| 14a+6b$

$d| 2a-b \Longrightarrow d| 14a-7b$

$\Longrightarrow d| 13b$

به طور مشابه $d|13a$ پس:

$d| (13a, 13b)=13(a,b)=13$

که باید اثبات شود که $d \neq 13$ است.

مرجع: کتاب نظریه اعداد_ نوشته مریم میرزاخانی و رویا بهشتی زواره_ انتشارات فاطمی
قبل توسط mort (113 امتیاز)
سلام دوست عزیز به احتمال زیاد مسئله همان $ (7a−3b,2a−b) $ است و شما اثبات کردید

1 پاسخ

0 امتیاز
قبل توسط mort (113 امتیاز)
انتخاب شده قبل توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

سلام

مسئله اشتباه است. مثال نقض: اگر $ a=12 $ و $ b=11 $ باشد مسئله نقض می شود. ($ (12,11)=1 $)

$ 7a+3b=7 \times 12+3 \times 11=117=9 \times 13 $ $ 2a-b=2 \times 12-11=13 $

در نتیجه

$ (7a+3b,2a-b)=(9 \times 13,13)=13 $

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...