به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
111 بازدید
قبل در دبیرستان توسط Somay_b (7 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein

می‌خواهم بدانم آیا $(\sqrt[3]{x})^3$ یک تک‌جمله‌ای شمرده می‌شود؟ چون بعضی از دبیران می‌گویند که نباید بعد از ساده کردن یک عبارت دربارهٔ چندجمله‌ای بودن قضاوت کنیم. اگر ساده نکنیم پس چگونه پیرامون تک‌جمله‌ای بودن یا نبودنش تصمیم بگیریم؟ و اگر باید ساده بکنیم پس این عبارت بالا هم باید چندجمله‌ای باشد.

قبل توسط Math.Al (341 امتیاز)
+1
@Somay_b لطفاً قبل از پرسش یک سؤال در این سایت، به راهنمای تایپ ریاضی موجود در سایت نگاهی بیندازید‌. بهتر است که عبارت‌های ریاضی را به‌صورت کلامی ننویسید و عبارت‌های ریاضی را باید بین دو علامت دلار ($$) قرار دهید تا خوانا شوند.
قبل توسط Somay_b (7 امتیاز)
–3
سلام. ابتدا از ادیتور استفاده کردم ولی در نهایت اصلا به فرمتی که باید میشد، نشد. تو اولین فرصت بیشتر مطالعه میکنم. شاید اگر فیلم آموزشی بود بهتر بود چون فرصت من کم هست. سپاس
قبل توسط AmirHosein (12,031 امتیاز)
@Somay_b به ویرایشی که بر روی عنوان و متن‌تان انجام دادم نگاه کنید. برای یادگیری نوشتن فرمول‌های ریاضی به پست‌های
https://math.irancircle.com/52
https://math.irancircle.com/56
نگاه کنید. اگر هم نمادی می‌خواهید که در این پست‌ها توضیح داده‌نشده‌است و قبلا در پرسش‌های سایت نیز پرسیده نشده‌است، می‌توانید پرسش جدیدی ایجاد کنید و بپرسید که فلان نماد را چگونه با دستور لاتک باید نوشت و برچسب پرسش را «لاتک» و «راهنمای-تایپ» بگذارید.

2 پاسخ

+3 امتیاز
قبل توسط mahdiahmadileedari (546 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

وقتی عبارتی ساده می‌شود، شکل و ماهیت اولیه آن تغییر می‌کند. همانطور که در مبحث دامنه توابع نباید دامنه را بعد از ساده کردن بدست آورد در این مبحث همینگونه است. $$\sqrt[3]{x^3} $$

متغیر زیر رادیکال است پس یک‌جمله‌ای نیست. هر چند ساده شده آن برابر $x$ و یک‌جمله‌ای است.

قبل توسط mahdiahmadileedari (546 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein
+1
عبارت $x^2-8x+3x$ وقتی ساده می شوند ماهیت اصلی خودش را از دست نمی دهد درواقع دو جمله مشابه را جمع کرده ایم که شکل ظاهری خودرا حفظ کرده اند.
قبل توسط good4us (4,033 امتیاز)
+1
mahdiahmadileedari@ فرجه سه x هم به توان 3 مساوی x  است.
قبل توسط mahdiahmadileedari (546 امتیاز)
در این که حاصل برابر$x$است شکی نیست. ولی صحبت من این است که با ساده شدن ،عبارت،تغییر شکل داده است.
قبل توسط AmirHosein (12,031 امتیاز)
@good4us من خواستم در ابتدایی که این پرسش پرسیده‌شد پاسخی بنویسم ولی چون سرم این هفته شلوغ است اقدامی نکردم. هم‌اکنون پاسخ مدنظرم را ارسال کردم.
دیدگاه نخست‌تان کاملا درست است. برای اینکه ببینیم یک ضابطهٔ داده‌شده چندجمله‌ای است یا خیر بویژه همین رادیکال به دامنه و حاصل نگاه می‌کنیم. برای اینکه تک‌جمله‌ای یا تک‌جمله‌ای نبودن چندجمله‌ای را نگاه کنیم باید جمله‌های مشابه را ساده کنیم که در واقع یعنی به شکل استاندارد بنویسیم و سپس تعداد را بشماریم.
قبل توسط AmirHosein (12,031 امتیاز)
@good4us به نظرم دیدگاهتان را در قالب پاسخ ارسال کنید، چون ابهام اصلی پرسش‌گر نیز نکتهٔ دیدگاه شماست.
+4 امتیاز
قبل توسط AmirHosein (12,031 امتیاز)

خیلی بهتر می‌شد اگر پرسش‌کننده مشخص می‌کرد که منظورش «تابع چندجمله‌ای از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$» است یا چندجمله‌ای به عنوان یک مفهوم مستقل از تابع و کاملا جبر مجرد. در حالت نخست چون دامنهٔ هر دو تابع و اثرشان یکسان است پس پاسخ مثبت است.

در حالت دوم باید اشاره کنند که چندجمله‌ای با چه متغیر و بر روی چه حلقه‌ای و غیره در نظر گرفته‌اند. در حالت کلی، پیش‌فرض زمانی که از یک چندجمله‌ای تک‌متغیره صحبت می‌کنند، منظور عضوی از حلقهٔ $R[x]$ است که $R$ نیز یک حقلهٔ دیگر است. در این حقلهٔ جدید (یعنی $R[x]$ نه $R$) اصلا عضوی به شکل $\sqrt[3]{x}$ وجود ندارد که حالا بخواهیم از $(\sqrt[3]{x})^3$ صحبت کنیم. پس باید ابتدا اشاره کنند که در چه محیطی صحبت می‌کنند که مسلما خود $R[x]$ نیست و باید یک ابرحلقه (حلقه‌ای بزرگتر که شامل این حلقه باشد) از $R[x]$ بردارند که $\sqrt[3]{x}$ را دارا باشد. در اینصورت بنا به تعریفِ $\sqrt[3]{x}$ که یعنی یک چیزی از آن حلقهٔ بزرگتر که در برابریِ $z^3=x$ صدق کند پس $(\sqrt[3]{x})^3=x$ است و حاصل یک چندجمله‌ای‌است.

ما حالا اینکه بگوئیم $(\sqrt[3]{x})^3$ یک چندجمله‌ای است یا نه، باید دقیق‌تر باشیم. منظورتان این است که حاصل آن چندجمله‌ای است یا منظورتان این است که این نمایش، یک نمایش چندجمله‌ای‌وار است. پاسخ اولی مثبت و پاسخ دومی منفی است. یک نمایش چندجمله‌ای‌وار از فرجه یا مثلا روابط مثلثاتی یا انتگرال و غیره استفاده نمی‌کند. مثلا با اینکه $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ برابر با ۱ است و ۱ یک چندجمله‌ای است، نمی‌توان گفت نمایشِ $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ یک چندجمله‌ای بر حسب $x$ است. دقت کنید که می‌گوئیم بر حسب $x$ یک چندجمله‌ای نیست! اگر به جای در نظر گرفتنش بر حسب $x$، بر حسب $\cos(x)$ و $\sin(x)$ نگاهش کنیم، آنگاه یک چندجمله‌ای است. در واقع قرار دهید $u=\sin(x)$ و $v=\cos(x)$ آنگاه شما در حال نگاه کردن به $u^2+v^2$ هستید که عضو حلقهٔ $R[u,v]$ یا همان $R[\sin(x),\cos(x)]$ است. این حلقه با حلقهٔ $R[x,y]$ که هر دوی متغیرها کاملا مستقل جبری هستند و دارای درجهٔ تعالی ۲ است فرق دارد، در واقع این حلقه درجهٔ تعالی ۱ دارد چون بیشینه تعداد متغیرهایش که در هیچ رابطهٔ چندجمله‌ای‌ای صفر نشود ۱ است و اگر بخواهیم هر دو را در نظر بگیریم در رابطهٔ $u^2+v^2-1=0$ صدق می‌کنند. پس این حلقه در $\frac{R[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}$ نشانده می‌شود.

اکنون آیا $(\sqrt[3]{x})^3$ نمایشی چندجمله‌ای بر حسب $x$ است؟ خیر. چون در این نمایش برای $x$ فرجه وجود دارد. آیا نمایشی چندجمله‌ای بر حسب $\sqrt[3]{x}$ است؟ بلی، چون قرار دهید $u=\sqrt[3]{x}$، آنگاه نمایشمان $u^3$ بوده‌است که چندجمله‌ای‌ای در $R[u]=R[\sqrt[3]{x}]$ است که درجهٔ تعالی ۱ دارد و با $R[x]$ یکریخت است.

پس به عنوان نتیجه‌گیری؛ باید ابتدا منظورتان را مشخص کنید که تابع چندجمله‌ای یا عنصری از یک حلقهٔ چندجمله‌ای، و آیا حاصل یا نمایش، مورد نظرتان است. سپس با توجه به انتخاب‌تان پاسخ کاملا بدیهی است.

قبل توسط good4us (4,033 امتیاز)
+2
AmirHosein@ از توضیحات مبسوط شما سپاسگزارم.
قطعاً افق دید و توان بنده به اندازه شمانیست.باتوجه به اینکه دانش آموز دبیرستانی نیز از این اطلاعات برخوردار نیست پاسخگویی را دچار مشکل میکند.
قبل توسط mahdiahmadileedari (546 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط mahdiahmadileedari
+2
آن چه که ریاضی را شیرین می سازد همین نکات ریزی است که معمولا در هیچ کتابی یافت نمی شوند
و ریاضی را پویا و زنده می سازد.
بسیار جامع و گویا.سپاسگزارم دکتر
قبل توسط Elyas1 (1,059 امتیاز)
+1
با اینکه بنده هم دانش آموز دبیرستان  هستم و از اطلاعات کافی برخوردار نیستم ولی چنان پاسخ آقای دکتر با توضیح بود که من هم متوجه شدم و گمان می کنم که پرسشگر هم متوجه شده باشد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...