به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
153 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (852 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

آیا روشی ساده برای دانش‌آموز کلاس نهم هست که مقدار $x$ در برابریِ زیر را بتواند حساب کند؟

$$\big(\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+\big(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{x}=4$$
توسط AmirHosein (18,139 امتیاز)
@rezasalmanian دیدگاه‌هایی که برای تعداد بسیاری از پرسش‌هایتان در روزهای متفاوت گذاشتم را خوانده‌اید؟ تمامی‌شان هم یک موضوع را یادآور می‌شوند که لطفا عنوان را کلی نگذارید. برای نمونه خود معادله‌ای که در پرسش نوشته‌اید آنقدر طولانی نیست که نشود در عنوان پرسش آورد. دلیل خاصی دارد که کماکان عنوان پرسش‌هایتان را «مقدار $x$ را بدست آورید» می‌گذارید؟
توسط good4us (7,005 امتیاز)
rezasalmanian@
ببینید میتونیم بگیم اولین فکر برای حذف رادیکال توانهای زوج طبیعی است و با آزمون و خطا می بینید که با شروع 2 تساوی برقراره،اما اگر با توان منفی هم آشنا باشند 2- را هم تست کنند که با مخرج مشترک گیری یا با گویا کردن مخرج ها بازهم تساوی را برقرار خواهند دید

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط Elyas1 (4,142 امتیاز)

به نام خدا.

ابتدا باید به اتحاد مزدوج توجه کرد. داریم:

$( \sqrt{2- \sqrt{3} })^x × (\sqrt{2+\sqrt{3} })^x=1$

حال می نویسیم: $ (\sqrt{2+ \sqrt{3} })^x =a$

$a+ \frac{1}{a}=4 \Longrightarrow a^2-4a+1=0 \Longrightarrow a=2 \pm \sqrt{3}$

بنابراین

$( \sqrt{2+ \sqrt{3} } )^x=2 \pm \sqrt{3}$

که دو جواب دارد. $x=2,-2$

0 امتیاز
توسط

دقت کنید که $$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$ به طور مشابه داریم $$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...