به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
114 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

معادله زیر در مجموعه اعداد حقیقی مثبت چند جواب دارد؟

$x^{[x]}=x+[x]$

کمک سوال :جواب عددی فرد است.

اگر فرض کنیم که : $0< x< 1 \Longrightarrow [x]=0 \Longrightarrow x^0=x \Longrightarrow x=1$

اما $x=1$ در بازه فرض شده نمی باشد. پس در این بازه جواب نداریم.

اتفاق عجیب اینجاست که در این بازه جواب دارد. اگر از نرم افزار های رسم نمودار کمک بگیریم.

سوال من اینجاست که چرا نمودار نشان می دهد که در این بازه جواب است ولی مطلب فوق نشان می دهد که در این بازه جواب نیست؟

مرجع: المپیاد ریاضی دوره دوم متوسطه_مرحله اول_۱۳۹۹
توسط good4us (5,380 امتیاز)
+2
Elyas1@ شما از چه نرم افزاری برای رسم استفاده کردید؟ معمولاً نقاط توپر و توخالی را واضح نشان نمی دهند
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
از نرم‌افزار geogebra استفاده کردم.
توسط good4us (5,380 امتیاز)
+3
خب عرض کردم به توپر و توخالی بودن آن نقاطی که نمودارهای دو طرف تساوی به هم برخورد می کنند توجه کنید تصویر این را نشان نمی دهد
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ممنونم. تازه با این نرم افزار آشنا شده بودم و به این نکته دقت نکرده بودم.
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@Elyas1 خوب می‌شد نام نرم‌افزار و کدی که برای رسم استفاده کردید را در متن پرسش می‌گذاشتید تا اگر اشتباهی داشته‌اید برایتان تصحیح کد را بگذارند یا اینکه اگر واقعا نرم‌افزار اشتباه کرده‌است قابل چک کردن و گزارش باشد.

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

از دیدگاهی که زیر دیدگاه آقای @good4us گذاشته‌اید برمی‌آید که از نرم‌افزار GeoGebra استفاده کرده‌اید. در اینجا نرم‌افزار Mathematica را امتحان می‌کنیم. دو رسم برای پیدا کردن پاسخ‌های یک تساوی به شکل $f(x)=g(x)$ رایج است. یکی اینکه نمودار $f(x)-g(x)$ را بکشیم و محل برخورد با محور $x$ها را نگاه کنیم. دیگری اینکه دو نمودار $f(x)$ و $g(x)$ را بکشیم و محل‌های برخوردشان را نگاه کنیم. کُدی که باید در نرم‌افزار Mathematica بزنید تا این دو رسم انجام شوند به همراه شکل خروجی‌شان در زیر آورده شده‌اند.

Plot[x^Floor[x] - (x + Floor[x]), {x, -1, 3}]

توضیحات تصویر

P1 = Plot[x^Floor[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> Blue];
P2 = Plot[x + Floor[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> Red];
Show[P1, P2]

توضیحات تصویر

همانگونه که می‌بینید در هیچ یک نقطهٔ برخوردی در بازهٔ باز $(0,1)$ نمی‌بینیم. تنها دو نقطهٔ ۱ و ۲ (توجه کنید که $1\not\in (0,1)$) هستند که احتمال دارد نقطهٔ برخورد باشند. با جایگذاری می‌بینید که نقطهٔ ۱ عضو نمودار نیست بلکه یک نقطهٔ حدی نمودار است، یعنی $(1,0)$ حد راستی از $f(x)-g(x)$ در $x=1$ است و نه مقدارش. پس تنها پاسخ مثبتی که با این دو ترسیم یافت شده‌است $x=2$ است.

+2 امتیاز
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

به نام خدا.

یک راه دیگر برای حل این مسئله بدون کمک گرفتن از نرم‌افزار این است:

ابتدا نشان می‌دهیم که در بازه $[1,2)$ جواب نداریم:

$$1 \leq x < 2 \Longrightarrow [x]=1 \Longrightarrow x=x+1$$

از این به بعد $ x \geq 2$ در نظر گرفته می‌شود.

توجه کنید که نامساوی‌های زیر با توجه به شرایط $x$ برقرار هستند.

$$x^{[x]} \geq x^2=x\times x\geq [x]×x\geq 2x=x+x \geq x+[x]$$

خواستهٔ مسأله این است که جواب‌های $x^{[x]}=x+[x]$ را بیابیم. هنگامی که این تساوی برقرار است، $[x]×x=x+[x]$ نیز برقرار است. پس بیایید این تساوی را بررسی کنیم:

\begin{align} [x](x-1)=x &\Longrightarrow [x]= \frac{x}{x-1}\\ \end{align}

ابتدا تابع $\frac{x}{x-1}= \frac{x-1+1}{x-1}=1+ \frac{1}{x-1}$ را بررسی می کنیم. این تابع با توجه به اینکه $x \geq 2$ است، مقدار تابع در بازه $(1,2]$ می باشد. از طرفی سمت چپ تساوی عددی صحیح است. پس باید $ \frac{x}{x-1}=2$ باشد که نتیجه می دهد که $x=2$ باشد.

از آقای @pourya-azary و استاد @AmirHosein برای اینکه من را راهنمایی کردند بسیار ممنونم.

توسط pourya-azary (91 امتیاز)
+2
با سلام
نامساوی ای که در بالا استفاده کردید در بازه 1 تا 2 هم برقرار نیست. مگه اینکه به همون شیوه که در مورد بازه 0 تا 1 گفتید این بازه رو هم رد کنید.
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
+1
@pourya-azary ممنون. ویرایش کردم.
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+1
@Elyas1 من امتیاز مثبت دادم به خاطر نابرابری میان پاسخ‌تان. ولی متنی که نوشتید چند جا پرش دارد.
۱- نماد شمارش را احتمالا به منظور شمارنده بودن در اعداد صحیح به کار برده‌اید و گر نه هر عدد حقیقی‌ای هر عدد حقیقی ناصفری را در میدان اعداد حقیقی می‌شمارد. پس در $x-1\mid x$ احتمالا منظورتان به عنوان عددهای صحیح است. اما پیش از این عبارت شما اثبات نکرده‌اید که $x-1$ و $x$ باید عدد صحیح باشند. اگر دلیل‌تان صحیح شدن تقسیم‌شان است، آنگاه $x=1.5$ را در نظر بگیرید، داریم $\frac{x}{x-1}=3$ که صحیح است، در حالیکه هیچ کدام از صورت و مخرج صحیح نبودند. بنابراین پیش از نوشتن $(x-1)\mid x$ باید به اینکه چرا صحیح هستند اشاره کنید.
۲- نقشِ $(x-1)\mid (x-1)$ در نوشته‌تان چیست؟
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@AmirHosein من در پرسش زیر با توجه به اینکه یک سمت تساوی جزء صحیح است از همین روش استفاده کردم و شما تأیید کردید. ممنون میشوم فرقشان را بگویید.یک راه برای اینکه نشان بدهیم $x$ باید عددی صحیح باشد، به ذهنم آمد. ممنون میشوم پاسخم را پس از ویرایشی که می کنم دوباره بررسی کنید.
https://math.irancircle.com/21035
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@Elyas1 به نظر من قسمت جدیدی که اضافه کردید (که البته هنوز چک نکردم) اضافه کاری است چون در دامنهٔ همان نامساوی خوبی که پیش‌تر نوشته‌بودید قرار می‌گیرد. من به جای شما باشم پس از اینکه به $[x]=\frac{x}{x-1}$ رسیدم به این توجه می‌کنم که تابع $\frac{x}{x-1}$ یک تابع به شکل $\frac{ax+b}{cx+d}$ است که برایمان خیلی از ویژگی‌هایش روشن است. در مورد $\frac{x}{x-1}$ با نگاه به ضابطه‌اش می‌دانیم که یک مجانب عمودی $x=1$ و یک مجانب افقی $y=1$ دارد و شکلش مانند شکل تابع همسازه $y=\frac{1}{x}$ است. در سمت راست $x=1$ بالای خط $y=1$ قرار دارد و کاهشیِ اکید (اکیدا نزولی) است. شما هم که در حال نگاه کردن به بازهٔ $x\geq 2$ هستید پس بیاییم بُرد تابع در این قسمت را ببینیم. در $x=2$ می‌شود $2$ و سپس در حال کاسته شدن و میل کردن به ۱ است. پس تنها عدد صحیحی که در برد این قسمت از تابع هست همان ۲ است که در $x=2$ اتخاذ شد. چرا فقط عددهای صحیح در بُردِ $\frac{x}{x-1}$ را نگاه کنیم؟ چون $[x]=\frac{x}{x-1}$ و $[x]$ عددی صحیح است. پس بدون نیاز به اینکه ثابت کنم $x$ صحیح است یا خیر که بعد بخواهیم از قوانین شمارش و بخش‌پذیری استفاده کنیم، با همان نامساوی و رابطهٔ پیشین‌تان کار تمام شد. در پست دیگرتان نیز چیزی که می‌بینم یک تابع به شکل مشابه دارید که برابر با جزءصحیح شده‌است. شاید بتوانید با همین شیوه آن را کامل کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...