به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
39 بازدید
قبل در دانشگاه توسط raha.jalali (9 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط fardina

فرض کنید $X$ فضای متریک و $ A,B \subset X$باشد. اگر $A^\circ=B^\circ=\emptyset$ و $B$ بسته باشد، نشان دهید $$(A\cup B)^\circ =\emptyset$$

قبل توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
@raha.jalali
۱- عنوان پرسش معنای متفاوتی از متن پرسش دارد. نیاز به توضیح نیز ندارد که عنوان پرسش یک گزارهٔ اشتباه است.
۲- برچسب آنالیز عددی چه ربطی به این پرسش دارد؟
۳- در یک نگاه سریع به گزارهٔ شرطیِ داخل متن پرسش‌تان، به نظرتان اگر این گزاره درست باشد، بنا به تقارن نباید $A$ هم بسته شود؟
۴- گزاره‌ای که می‌خواهید اثبات کنید به این شکلی که نوشتید اشتباه است. شاید سمت برعکس آن منظورتان بوده‌است.
۵- به تلاش خود اشاره کنید. حداقل می‌توانستید اشاره کنید که تا چه حد از پرسش را فهمیده‌اید یا اگر کل آن را فهمیده‌اید (که احتمالا اینطور نیست)، برای حلش به چه چیزهایی فکر کردید و چه راه‌هایی را امتحان کردید، یا چه متنی شروع به نوشتن کردید.
قبل توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
بعلاوه نام‌های کاربری‌ای که به یکدیگر امتیاز می‌دهید، آیا شما اصلا متوجه معنای عنوان یا متن یا برچسب‌ها پیش از دادن امتیاز شده‌اید؟

1 پاسخ

0 امتیاز
قبل توسط fardina (16,416 امتیاز)

در اثباتی که من تونستم بیارم از دو نکته زیر استفاده کردم که به احتمال زیاد دیده اید یا خودتان می توانید ثابت کنید:

نکته اول: برای هر زیرمجموعه $A$ از فضای متریک $X$ داریم $(A^\circ)^c=\overline{(A^c)}$

نکته دوم: اگر $U$ مجموعه ای باز باشد آنگاه $U\cap \overline A\subseteq \overline{U\cap A}$

به کمک این دو نکته مساله را حل می کنیم.

از آنجا که $A^\circ=B^\circ=\emptyset$ پس از نکته اول داریم $\overline {A^c}=X$ و $\overline{B^c}=X$ (یعنی $A^c$ و $B^c$ چگال اند).

برای اثبات $(A\cup B)^\circ=\emptyset$ کافی است نشان دهیم $((A\cup B)^\circ)^c=X$

اما داریم:

$$\begin{align}((A\cup B)^\circ)^c&=\overline{(A\cup B)^c}\\ &=\overline{A^c\cap B^c}\\ &\supseteq\overline{A^c}\cap B^c\\ &=X\cap B^c\\ &=B^c \end{align}$$

که در آن، تساوی اول از نکته اول به دست آمده و رابطه شمولیت از نکته دوم نتیجه شده است(چون $B^c$ باز است). اما چون $(A\cup B)^\circ$ مجموعه ای باز است، پس $ ((A\cup B)^\circ)^c $ مجموعه ای بسته است که طبق رابطه اخیر شامل $B^c$ است. اگر از طرفین بستار بگیرید داریم

$$((A\cup B)^\circ)^c=\overline{((A\cup B)^\circ)^c}\supseteq \overline{B^c}=X$$

پس $((A\cup B)^\circ)^c=X$ لذا $(A\cup B)^\circ =\emptyset$.


توجه کنید که فقط شرط تهی بودن درون دومجموعه برای تهی شدن درون اجتماع دو مجموعه کافی نیست. به عنوان مثال $\mathbb Q$ و $\mathbb Q^c$ را در نظر بگیرید. پس شرط بسته بودن یکی از مجموعه ها مهم است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...