به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
122 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط niusha
ویرایش شده توسط fardina

$\sin\frac1x$
$x\sin\frac 1x$
$x^2\sin\frac 1x$
شکل این 3 تابع چگونه است؟! و ایا در اطراف صفر تعریف شده اند یا خیر؟! ایا این توابع در صفر حد دارند یا خیر? $|x\sin\frac 1x|\leq |x|$ درستی اش را اثبات کنید .

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm

تابع $f(x)=\sin \frac 1x$ دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. در زیر می توانید شکل آن را ببینید. در نزدیکی صفر نوسان تابع بسیار شدید است:

enter image description here

$\lim_{x\to 0}\sin\frac 1x$ وجود ندارد چون کافی است دو دنباله $a_n=\frac{1}{2n\pi}$ و $b_n=\frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید که $a_n\to 0,b_n\to 0$ ولی $\sin\frac1{a_n}\to 0$ و $\sin\frac1{b_n}\to 1$ . توجه کنید که چون $|\sin x|\leq 1$ لذا همواره برای هر تابع $f(x)$ هم داریم $|\sin f(x)|\leq 1$ پس در اینجا هم $|\sin\frac 1x|\leq 1$ .

تابع $x\sin \frac 1x$ دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. در زیر می توانید شکل آن را ببینید:

enter image description here

همان طور که مشاهده می کنید $\lim_{x\to 0} x\sin\frac 1x$ وجود دارد و برابر $0$ است یعنی $\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=0$ . بدون استفاده از شکل هم این موضوع قابل حدس بود زیرا $|x\sin\frac 1x|\leq |x|$ و از فشردگی استفاده کنید. اثبات این نامساوی هم واضح است چرا که گفتیم همواره $|\sin\frac 1x|\leq 1$ پس $|x\sin\frac 1x|=|x||\sin\frac 1x|\leq |x|\times 1=|x|$ . در زیر نمودارهای $y=x$ و $y=x\sin\frac1x$ مقایسه شده اند:

enter image description here

تابع $f(x)=x^2\sin\frac 1x$ هم دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. شکل آن به صورت زیر است:

enter image description here

همانطور که میبینید سرعت همگرایی این تابع به سمت صفر بیشتر از سرعت همگرایی تابع قبلی به سمت صفر است. پس $\lim_{x\to 0}\ x^{2} sin\frac 1x=0$ . با استفاده از قضیه فشردگی هم این حد قابل انتظار بود.

در حالت کلی در توابع $y=x^n\sin\frac 1x$ که $n\in\mathbb N$ است داریم $\lim_{x\to 0}x^n\sin\frac 1x=0$ ولی حد $\lim_{x\to 0}\sin\frac 1x$ وجود ندارد!

دارای دیدگاه توسط niusha
+1
ممنون بابت پاسختان
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...