به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
120 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amir7788 (653 امتیاز)

- روی طول مستطیل $ABCD$ نقاط $X$ و $Y$ را با خط کش و پرگار طوری پیدا کنید(همراه با اثبات) که رابطه زیر بر قرار باشد $$AX=XY=YD$$

توضیحات تصویر

3 پاسخ

+1 امتیاز
توسط pourya-azary (100 امتیاز)
انتخاب شده توسط amir7788
 
بهترین پاسخ

با سلام

اگر طول مستطیل را a و عرض آن را b فرض کنیم. با استفاده از رابطه فیثاغورث در مثلث DYC می توان اندازه DY را به دست آورد که برابر است با $ \frac{-a+2 \sqrt{ a^{2} +3 b^{2} } }{3} $

در ادامه روش رسم ما مبتنی است بر:

1) رسم $ DF=\sqrt{3b} $ سپس

2) رسم $DH=DF$ که در نتیجه اندازه $AH= \sqrt{ a^{2} +3 b^{2} } $

3) رسم $AK=2AH$ و سپس $AN=2 \sqrt{ a^{2} +3 b^{2} }$

4) اندازه $DN=-a+2 \sqrt{ a^{2} +3 b^{2} }$ است که با استفاده از خطوط موازی به سه قسمت مساوی تقسیم می کنیم و در نتیجه $DQ=\frac{-a+2 \sqrt{ a^{2} +3 b^{2} } }{3}$

5) حالا به ترتیب نقاط Y و X را روی BC مشخص می کنیم.

توضیحات تصویر

البته قبول دارم که روش زیبایی نیست ولی روش بهتری به ذهنم نرسید.

توسط amir7788 (653 امتیاز)
+1
چند روش حداقل می توان حل کرد به نظر شما یکی از راهی سخت انتخاب کردید حداقل بجای DY ازCY استفاده می کردید مطمئنا ساده تر می شد در کل توضیح شما در رسم عبارت DY جالب بود. ضمنا اشاره کنم بدون اینکه برای طول و عرض مستطیل a وbقائل شویم قابل حل است
0 امتیاز
توسط seiedirani (92 امتیاز)

تصویر

با سلام واحترام روی یک خط افقی یک دایره به دلخواه رسم میکنیم بعد یک دایره مساوی دایره فوق طوری رسم میکنیم که فاصله مرکز دو دایره برابر شعاع باشد با توجه به شکل هر خط افقی که دو دایره را قطع کند دارای روابط جالب مورد نظر خواهد بود یعنی طول OC با PB و شعاع دایره همه باهم مساوی هستند. جالب است وقتی مماس مشترک دو دایره رسم شود(خط آبی) در آنجا هم این رابطه برقرار است. حال برای پیدا کردن این نقطه روی مستطیل دلخواه دو روش وجود دارد روش اول نسبت طول به عرض مستطیل را در این شکل رعایت کنیم و متناسب با آن محل نقطه را روی مستطیل اصلی پیدا کنیم روش دوم شعاع دایره را در مستطیل دلخواه با توجه به اثبات روابط زیر پیدا کنیم اگر طول مستطیل را a و عرض آنرا b در نظر بگیریم باتوجه به شکل و زاویه θ برای اندازه هایCD و OD روابط مثلثلتی ساده ای داریم a= R+2Rcos(tete) b=Rsin(teta) Cos(teta) = (2-R)/(2R) , sin(teta) = b/R
از طرف دیگر با مساوی قرار دادن جمع توان دوم سینوس تتا و کسینوس تتا با عدد 1 به یک رابطه درجه دوم برحسب R می رسیم که باتوجه به مشخص بودن a و b در هر مستطیل
)/12 R= (-4+√(16a^2+48(4b^2+a^2 ) )

توسط amir7788 (653 امتیاز)
ازلحاظ محاسبه بر حسب طول و عرض بسیار جالب محاسبه کردید اما از لحاظ پیدا کردن مکان دو نقطه بدون اینکه محاسباتی  بر حسب طول و عرض انجام دهیم در شیوه شما به چشم نمی خورد
توسط seiedirani (92 امتیاز)
با سلام واحترام
لطفا پاسخ جدید مرا ملاحظه فرمایید
0 امتیاز
توسط seiedirani (92 امتیاز)
ویرایش شده توسط seiedirani

با سلام و احترام

ابتدا از وسط شکل پاره خط عمودی MN را رسم میکنیم (مستطیل را نصف میکنیم) و بعد به شعاع BC و قطر BC دو دایره مطابق شکل رسم میکنیم.

چون C مرکز دایره بزرگتر است هر نقطه روی آن فاصله اش از مرکز دایره برابر شعاع دایره و یا همان طول مستطیل است(BC). قطر MD را ادامه میدهیم تا در نقطه P دایره بزرگتر را قطع کند.

اگر مستطیل متناسب با قطر بزرگتر را در نظز بگیریم با توجه به شکل دقیقا مشابه با مستطیل MNDC (نصف مستطیل اصلی) میباشد.

ضلع پایین مستطیل را ادامه میدهیم تا دایره را در نقطه Q قطع کند.

با توجه به شکل CP=CQ=BC = شعاع دایره بزرگ

یک سوم  شعاع دایره بزرگ  =    شعاع دایره کوچک 

MC*3=MQ

حال DR را موازی PQ رسم میکنیم و پاره خط MR را به سه قسمت مساوی تقسیم میکنیم.

نقطه Y را در یک سوم فاصله MR انتخاب مبکنیم با توجه به تشابه اگر به مرکز Y و به شعاع ( YD=YR ) دایره ای رسم کنیم و آیینه آن دایره را نسبت به پاره خط MN (خط تقارن مستطیل) رسم کنیم در شکل نهایی حاصل :

AX=XY=YD=ZX=YR

واقعا ذهنم را مشغول کرده بود خیلی مسئله جالبی بود تقریبا یک ماه است که در اتوکد آنقدر آزمون خطا کردم تا بالاخره به این راه حل رسیدم اگر اتوکد نبود احتمالا شاید خیلی بیشتر طول میکشید

توسط seiedirani (92 امتیاز)
توضیح اینکه نقش اتوکد فقط در حد تسریع در کشیدن اشکال دقیق است
توسط seiedirani (92 امتیاز)
+1
amir7788     
با سلام واحترام منتظر نظر شما هستم
توسط seiedirani (92 امتیاز)
با سلام واحترام
لطفا یک نظر بفرستید  من یک ماه روی این مسئله وقت گذاشتم ظاهرا محکوم به بانمک ترین تبعید علمی هندسی شده ام

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...