به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
156 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amir7788 (1,302 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

همهٔ مقادیر اعداد گویای $x$ را طوری به دست آورید که حاصل عبارت زیر: $$3x^2-5x+6$$ مربع یک عدد گویا به‌دست آید.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (1,302 امتیاز)
انتخاب شده توسط amir7788
 
بهترین پاسخ
  • عدد گویای r ی وجود دارد که

$$3x^2 - 5x+6=r^2 \Rightarrow $$ $$ (3x-2)(x-1)=r^2 - 4 $$

بنابراین عدد گویای p وجود دارد به طوری که

$$ \frac{3x-2}{r-2} = \frac{r+2}{x-1} =p \quad (*) $$

  • در نتیجه دستگاه زیر داریم

$$3x-2=pr-2p$$ $$px-p=r+2 $$

  • با حذف r از دستگاه فوق جواب کلی x بدست می آید و با قرار دادن مقدار x در یکی از معادلات مقدار گویای r را می توانید پیدا کنید.

$$x= \frac{p^2 +4p-2}{p^2 - 3} $$

اگر رابطه (*) را به صورت زیر هم بنویسیم آنگاه داریم $$ \frac{3x-2}{r+2} = \frac{r-2}{x-1} =q \quad (**) $$ - با تشکیل دستگاه و حذف r خواهیم داشت $$x= \frac{q^2 - 4q-2}{q^2 - 3} $$ با قرار دادن p- به جای q به جواب قبلی خواهیم رسید.

+2 امتیاز
توسط mort (207 امتیاز)

سوال جالبی بود

تغییر متغیر $ x=Y+a $ را اعمال می کنیم:

$ 3(Y+a)^{2}-5(Y+a)+6=3Y^{2}+Y(6a-5)+3a^{2}-5a+6 $

در بالا اگر $ 6a-5=0 \Rightarrow a=\frac{5}{6} $ آنگاه ضریب Y صفر خواهد شد پس بهترین مقدار برای a مقدار $ \frac{5}{6} $ است. پس از تغییر متغیر به عبارت زیر می رسیم:

$ 3Y^{2}+\frac{47}{12} $

مسئله به یک متغیر تخفیف پیدا کرد. باید حاصل عبارت $ 3Y^{2}+\frac{47}{12} $ یک مربع کامل شود بنابراین خواهیم داشت:

$ 3Y^{2}+\frac{47}{12}= \theta ^{2} \Rightarrow Y^{2}=\frac{ \theta ^{2}-\frac{47}{12}}{3}=\frac{12 \theta ^{2}-47}{36} \Rightarrow Y=\frac{\sqrt{12 \theta ^{2}-47}}{6} $

حال باید بررسی کنیم عبارت $ 12 \theta ^{2}-47 $ چه زمانی مربع کامل می شود.

$ 12 \theta ^{2}-47=12( \theta ^{2}-4)+1=12( \theta -2)( \theta +2)+1=k^{2} \Rightarrow 12( \theta -2)( \theta +2)=(k-1)(k+1) $

عبارت بالا را به صورت زیر می نویسیم:

$ q( \theta -2) \times \frac{12}{q}( \theta +2)=(k-1)(k+1) $

هم ارزی های $ q( \theta -2)=k+1 $ و $ \frac{12}{q}( \theta +2)=k-1 $ را برقرار می کنیم تا معادله درست از آب در آید. پس:

$ \frac{12}{q}( \theta +2)+1=q( \theta -2)-1 \Rightarrow \theta =\frac{2(q^{2}+q+12)}{q^{2}-12}$

در ادامه خواهیم داشت:

$ 12 \theta ^{2}-47=\frac{(q^{2}+48q+12)^{2}}{(q^{2}-12)^{2}} \Rightarrow Y=\frac{\frac{q^{2}+48q+12}{q^{2}-12}}{6}=\frac{q^{2}+48q+12}{6q^{2}-72} $

و نیز $ x=Y+\frac{5}{6}=\frac{q^{2}+48q+12}{6q^{2}-72}+\frac{5}{6} $

پس یک مجموعه جواب برای x، به صورت روبرو بدست می آید: (n عددی گویاست.)

$x=\frac{n^{2}+48n+12}{6n^{2}-72}+\frac{5}{6}$

نمی توان ادعا کرد که مجموعه بالا، همه جواب های های مسئله را محاسبه می کند زیرا که هم ارزی های دیگر هم میتوان قرار داد. در مجموعه ای که برای x نوشتیم به ازای n=4 مقدار 10 برای x حاصل می شود که یعنی در تابع اولیه شما اگر به جای x عدد 10 را قرار دهیم آنگاه حاصل یک مربع کامل خواهد بود

توسط mort (207 امتیاز)
@amir7788 مقدار $ \frac{2}{3} $ رو میشه تولید کرد با فرمول $ \frac{n^{2}+48n+12}{6n^{2}-72}+\frac{5}{6} $  !
تنها کافیست به جای n مقدار $ -24 $ قرار دهید.
توسط amir7788 (1,302 امتیاز)
mort@ حق با شماست جواب شما با جوابم که به صورت زیر می باشه کاملا یکی ا‌ست.
$x= \frac{4r+1}{r^2 - 3}+1 $
بنابراین شما جواب کلی بدست آوردید روش شما جالب بود برای همین امتیاز داده بودم حال خوشحالم که جواب تان صحیح بود هرچند روش سختی را انتخاب کردید
توسط mort (207 امتیاز)
@amir7788 بسیار خوشحال میشم روش شما رو هم در محاسبه این مجموعه جواب ببینم. لطفا آنرا به ایمیل من ارسال کنید. ریاضیات بسیار حیرت آور است زیرا که برای حل یک سوال، هزاران راه حل وجود دارد.
توسط amir7788 (1,302 امتیاز)
@mort نشانی ایمیل جنابعالی از کجا باید پیداش کنم
توسط pourya-azary (91 امتیاز)
@amir7788
با سلام. در قسمت پروفایل هر شخص یک گزینه ارسال پیام خصوصی وجود داره که میشه از اونجا ارسال کنید.
حقیقتش منم چند روزه که ذهنم رو درگیر کرده این سوال و اگه ایرادی نداره  جواب خودتون را برای منم ارسال کنید. ممنون
یک سوال دیگه هم اینکه چطور میشه نشون داد که این دو جواب یکی هستند

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...