به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
146 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

تابع $f$ روی $(a ,b)$ مفروض است نشان دهید این تابع در $x$ عضو بازه $(a,b)$ پیوسته است اگر و تنها اگر $ \omega (f)$ در نقطه ی$x$ برابر صفر باشد,که در آن:

$\omega_f(x)=\sup_{\delta>0,\delta\to 0}{|f(x)-f(y)|:x\in B(x,\delta)\cap (a,b)}$

مرجع: آنالیز ریاضی
توسط erfanm
+1
لطفا سوال را با تمام جزییات بنویسید مثلا تعریف $ \omega (f)$ را بنویسید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اگر $f:(a,b)\to\mathbb R$در $c\in(a,b)$ پیوسته باشد به ازای هر $\epsilon> 0$ دلخواه یک $\delta> 0$ موجود است به طوریکه برای هر $ x\in B(c,\delta)$ داریم $|f(x)-f(c)|< \frac\epsilon 2$ لذا برای هر $x,y\in B(c,\delta)$ داریم $ |f(x)-f(y)|=|f(x)-f(c)|+|f(y)-f(c)|<\frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon $ بنابراین $\omega_f(c)=\sup_{\delta>0,\delta\to 0}\{|f(x)-f(y)|:x\in B(x,\delta)\cap (a,b)\}\leq \epsilon$

لذا $\omega_f(c)=0$

برعکس: اگر $\omega_f(c)=0$ پس بنابر تعریف $\sup$ برای هر $\epsilon> 0$ یک $\delta> 0$هست که برای هر $x,y\in B(c,\delta)$ داریم $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ پس از جمله برای $x\in B(c,\delta)$ داریم $|f(x)-f(c)|< \epsilon$ لذا در $c$ پیوسته است

توسط رها
+2
@fardina
همونطور که جناب منوچهری فرمودن,تعریف $w(f)$ توو صورت سوال لازم نیست؟؟
من شخصا از پاسخ شما متوجه شدم که $w(f)$  چیه!
توسط fardina
+1
@رها
امیدوارم که منظورشون از $\omega(f)$ در یک نقطه همون نوسان بوده باشه. تعریفات معادل متفاوتی وجود داره. باید در صورت سوال اشاره میکردن به تعریف.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...