به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
25 بازدید
در دانشگاه توسط HimanMohammadi (11 امتیاز)

فرض کنید به ازای هر $n,m \in N $، دنباله $a_{m,n}$ با شرط زیر تعریف شده باشد:

$a_{n,n}=+1$ ,$a_{n,n+1}=-1$

و اگر $m \neq n$ یا $m \neq n+1$ آنگاه $a_{m,n}=0 $. نشان دهید

$ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}(a_{m,n})=1$

$ \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(a_{m,n})=0$

تلاش من برای اثبات مسئله: چونکه برای $m \neq n$ یا $m \neq n+1$ داریم $a_{m,n}=0 $ بنابراین:

$\sum_{m=1}^{\infty}(a_{m,m}+a_{m,m+1}) =\sum_{m=1}^{\infty}(1-1)=0$

نظر شما چی هست و قسمت دیگر را چطور میتوان نشان داد؟

مرجع: The Elements of Integration and Lebesgue Measure- ROBERT G. BARTLE- CHAPTER 10- exercise 10.o
توسط AmirHosein (13,308 امتیاز)
+1
@HimanMohammadi سپاس از اینکه پرسش‌تان را ویرایش کردید. بخش دوم را درست حل کردید. نکتهٔ بخش نخست این است که برای $n\geq 2$ مثل همین چیزی که انجام دادید صفر دارید ولی برای $n=1$ عضو $a_{1,1}$ برابر ۱ است و هر $a_{m,1}$ دیگری صفر است که $m\geq 2$. در واقع منفی یک زمانی می‌توانست ظاهر شود که $a_{0,1}$ را هم قبول کنید که در زیگمای آمده تولید نمی‌شود (چون $m$ از یک شروع می‌شود).

پاسخ شما


نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
حاصلجمع 7 و 6 چقدر است؟(پاسخ حروفی)
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...