به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
112 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

برای هر عدد مثبت $x$نشان دهید: $tan^{-1}x + tan^{-1}1/x = π/2$

مرجع: سوال دبیر
دارای دیدگاه توسط
نمونه کجاست؟
دارای دیدگاه توسط
همون معکوس تانژانت اولی (که یک کمی تغییرش دادم تا درست نشان داده بشه)
دارای دیدگاه توسط
+1
سپاس گزارم
دارای دیدگاه توسط
+1
@hana
هانا جان اگه پاسخی که دوستان میدن برای شما قابل قبول هست,میتونید با امتیاز دادن ازشون تشکر کنید.
دارای دیدگاه توسط
+1
چشم رها جان

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

این سوال صفحه 130 کتاب حسابان است البته با یک کمی تغییر و بنظر بنده این سوال در حد دبیرستان شاید نباشه اما بهر حال بصورت زیر اثبات می شود.

با توجه به تعریف معکوس تانژانت براحتی نشان داده می شود که حاصل عبارت $ tan^{-1} (x)+ tan^{-1} ( \frac{1}{x} ) $ زاویه ای بین $ (0,\pi) $ است. حال قرار میدهیم $tan^{-1} (x)= \alpha $ و$ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta $ یعنی ما باید حاصل $ \alpha + \beta $ را بیابیم که یک زاویه است از اینکه $ tan^{-1} (x)= \alpha $ با توجه به تعریف داریم $ tan (\alpha)= x $ از اینکه $ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta$ با توجه به تعریف داریم $ tan ( \beta)= \frac{1}{x} $ حال بجای $x$ مقدار $ tan (\alpha) $ را جایگذاری می کنیم داریم: $$ tan ( \beta)= \frac{1}{ tan (\alpha)} \Rightarrow \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} =\frac{1}{ \frac{ sin (\alpha)}{cos (\alpha)} } \Rightarrow $$ $$ \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} = \frac{cos (\alpha)}{sin (\alpha)} \Rightarrow sin ( \beta)sin (\alpha)=cos ( \beta)cos ( \alpha) $$

همانطور که گفته شد ما باید حاصل $ \alpha + \beta $ که زاویه است را بیابیم برای این کار ابتدا مقدار $cos( \alpha + \beta )=cos ( \beta)cos ( \alpha)-sin ( \beta)sin (\alpha)$ را می یابیم که با توجه به رابطه بالا برابر صفر است اما تابع کسینوس در $ \frac{\pi}{2} $ برابر صفر می شود یعنی $\alpha + \beta= \frac{\pi}{2} $و ثابت شد.

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

یک روش هندسی برای اثبات این مساله:

در حالت کلی در یک مثلث قائم الزاویه اگر ضلع مقابل یک زاویه حاده برابر $x$ و ضلع مجاور برابر $1$ باشد در ینصورت آن زاویه حاده برابر $\tan^{-1}x$ خواهد بود(چرا؟) و همچنین زاویه حاده دیگر برابر $\tan^{-1}\frac1x $ (چرا؟)

enter image description here

بنابراین از مجموع زوایای داخلی مثلث داریم $\alpha+\beta+\frac\pi2=\pi$ لذا $\alpha+\beta=\frac\pi2$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...