به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
118 بازدید
در دبیرستان توسط hana
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

برای هر عدد مثبت $x$نشان دهید: $tan^{-1}x + tan^{-1}1/x = π/2$

مرجع: سوال دبیر
توسط hana
نمونه کجاست؟
توسط erfanm
همون معکوس تانژانت اولی (که یک کمی تغییرش دادم تا درست نشان داده بشه)
توسط hana
+1
سپاس گزارم
توسط رها
+1
@hana
هانا جان اگه پاسخی که دوستان میدن برای شما قابل قبول هست,میتونید با امتیاز دادن ازشون تشکر کنید.
توسط hana
+1
چشم رها جان

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط erfanm

این سوال صفحه 130 کتاب حسابان است البته با یک کمی تغییر و بنظر بنده این سوال در حد دبیرستان شاید نباشه اما بهر حال بصورت زیر اثبات می شود.

با توجه به تعریف معکوس تانژانت براحتی نشان داده می شود که حاصل عبارت $ tan^{-1} (x)+ tan^{-1} ( \frac{1}{x} ) $ زاویه ای بین $ (0,\pi) $ است. حال قرار میدهیم $tan^{-1} (x)= \alpha $ و$ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta $ یعنی ما باید حاصل $ \alpha + \beta $ را بیابیم که یک زاویه است از اینکه $ tan^{-1} (x)= \alpha $ با توجه به تعریف داریم $ tan (\alpha)= x $ از اینکه $ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta$ با توجه به تعریف داریم $ tan ( \beta)= \frac{1}{x} $ حال بجای $x$ مقدار $ tan (\alpha) $ را جایگذاری می کنیم داریم: $$ tan ( \beta)= \frac{1}{ tan (\alpha)} \Rightarrow \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} =\frac{1}{ \frac{ sin (\alpha)}{cos (\alpha)} } \Rightarrow $$ $$ \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} = \frac{cos (\alpha)}{sin (\alpha)} \Rightarrow sin ( \beta)sin (\alpha)=cos ( \beta)cos ( \alpha) $$

همانطور که گفته شد ما باید حاصل $ \alpha + \beta $ که زاویه است را بیابیم برای این کار ابتدا مقدار $cos( \alpha + \beta )=cos ( \beta)cos ( \alpha)-sin ( \beta)sin (\alpha)$ را می یابیم که با توجه به رابطه بالا برابر صفر است اما تابع کسینوس در $ \frac{\pi}{2} $ برابر صفر می شود یعنی $\alpha + \beta= \frac{\pi}{2} $و ثابت شد.

+3 امتیاز
توسط fardina

یک روش هندسی برای اثبات این مساله:

در حالت کلی در یک مثلث قائم الزاویه اگر ضلع مقابل یک زاویه حاده برابر $x$ و ضلع مجاور برابر $1$ باشد در ینصورت آن زاویه حاده برابر $\tan^{-1}x$ خواهد بود(چرا؟) و همچنین زاویه حاده دیگر برابر $\tan^{-1}\frac1x $ (چرا؟)

enter image description here

بنابراین از مجموع زوایای داخلی مثلث داریم $\alpha+\beta+\frac\pi2=\pi$ لذا $\alpha+\beta=\frac\pi2$ .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...