به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
142 بازدید
در دبیرستان توسط arvin

اثبات اين برابري زير رو ميخواستم! ممنون!

$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$ \sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$C= \sqrt{ A^{2}-B } $$

توسط maani
ویرایش شده توسط erfanm
+2
سلام با جاگذاری راحت به جواب می رسید کافی دو طرف دو معادله را با هم جمع کنید و با هم برابر قرار دهید و بعد دو طرف تساوی بدست آمده رو به توان 2 برسونید بعدش با ساده کردن تساوی اخیر به جواب می رسید!
توسط erfanm
+1
کافیست طرفین را به توان دو برسانید براحتی بدست می آید.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ

فرض ميكنيم $A,B > 0$ ودوعدد حقيقي باشند.هر عبارت به صورت$ \sqrt{A \pm \sqrt{B} } $ را راديكال مركب گويند.

منظور از ساده كردن يك راديكال مركب .يعني نوشتن آن به صورت $ \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $ مي باشد.

حال ساده ميكنيم...

$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

$$ ( \sqrt{A+ \sqrt{B} } )^{2} = ( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^{2} $$

$$A+ \sqrt{B} =a+b+2 \sqrt{ab} $$

$$A+ \sqrt{B} =(a+b)+ \sqrt{4ab} $$

با مقايسه طرفين اين تساوي..

$$a+b=A , 4ab=B$$

پس

$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b} \Longrightarrow a+b=A, ab= \frac{B}{4} $$

يادآوري

معادله درجه دومي كه $ x_{1} , x_{2} $ريشه هاي آن باشدبا توجه به$ \begin{cases}S= x_{1} + x_{2} & \P= x_{1} x_{2} & \end{cases} $

از فرمول $ x^{2}-Sx+P=0 $ بدست مي آيد

در نتيجه $a,b$ريشه هاي معادله ي درجه دوم$x^{2}-Ax+ \frac{B}{4}=0 $ است

وبا توجه به

يادآوري

ريشه هاي معادله درجه دو $(a x^{2}+bx+c=0 )$به صورت زير ميباشد.

$$x= \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a} $$

$$a= \frac{A+ \sqrt{A^{2} -B} }{2} $$

$$b= \frac{A- \sqrt{ A^{2}-B } }{2} $$

حال با فرض اينكه$ \sqrt{ A^{2}-B }=C $باشد. مينويسيم.

$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b}= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$C= \sqrt{ A^{2} -B} $$

همچنين به همين صورت ميتوان ثابت كرد:

$$ \sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$C= \sqrt{ A^{2}-B } $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...